Cho (a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2 và â,b,c là 3 số khác 0.

Phương pháp

Áp dụng hằng đẳng thức ${\left(a+b+c\right)}^2=a^2+b^2+c^2+2\left(ab+ac+bc\right)$

và ${\left(a+b\right)}^3=a^3+b^3+3ab\left(a^2+b^2\right)$

Cách giải:

Ta có:${\left(a+b+c\right)}^2=a^2+b^2+c^2+2\left(ab+ac+bc\right)$

Mà theo đề bài ${\left(a+b+c\right)}^2=a^2+b^2+c^2$

Suy ra $2\left(ab+ac+bc\right)=0\iff ab+ac+bc=0$

$\iff ab+ac=-bc$

$\iff {\left(ab+ac\right)}^3=-b^3{c}^3$

$\iff a^3{b}^3+a^3{c}^3+3a^{2}bc\left(ab+ac\right)=-b^3{c}^3$

$\iff a^3{b}^3+a^3{c}^3+b^3{c}^3=-3a^{2}bc.\left(-bc\right)$

$\iff a^3{b}^3+a^3{c}^3+b^3{c}^3=3a^2{b}^2{c}^2$

Mà $a,b,c\ne 0$  nên ta có

$a^3{b}^3+a^3{c}^3+b^3{c}^3=3a^2{b}^2{c}^2$

$\iff \frac{a^3{b}^3+a^3{c}^3+b^3{c}^3}{a^3{b}^3{c}^3}=\frac{3a^2{b}^2{c}^2}{a^3{b}^3{c}^3}$

$\iff \frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3}=\frac{3}{abc}\left(dpcm\right)$