Tứ giác có các đỉnh là trung điểm các cạnh của một tứ giác có hai đường

MN là đường trung bình của tam giác ABC nên $MN\parallel AC,MN=\frac{1}{2}AC$  .

PQ là đường trung bình của tam giác ADC nên $PQ\parallel AC,PQ=\frac{1}{2}AC$ .

$\Rightarrow MN\parallel PQ,MN=PQ$.

Do đó tứ giác MNPQ là hình bình hành.

Tam giác ABD có MQ là đường trung bình nên $MQ\parallel BD$ .

Mà $\left\{\begin{array}{l}MN\parallel AC\\ MQ\parallel BD\\ AC\perp BD\end{array}\right.\Rightarrow MN\perp MQ\Rightarrow MNPQ$ là hình chữ nhật.