Cho x/y+z+y/z+x+z/x+y. Chứng minh

Phương pháp

Nhân cả hai vế của đẳng thức bài cho với $x+y+z\ne 0$ .

Cách giải:

Cho$\frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{x+y}=1$ . Chứng minh $\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{z+x}+\frac{z^2}{x+y}=0$ .

Nhận xét: Nếu $x+y+z=0\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}x+y=-z\\ x+z=-y\\ y+z=-x\end{array}\right.\Rightarrow \frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{x+y}=-3$ .

Suy ra $x+y+z\ne 0$ .

Ta có:$\frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{x+y}=1$

$\iff \left(x+y+z\right)\left(\frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{x+y}\right)=x+y+z$

$\iff \frac{x^2}{y+z}+\frac{xy}{z+x}+\frac{xz}{x+y}+\frac{xy}{y+z}+\frac{y^2}{z+x}+\frac{yz}{x+y}+\frac{zx}{y+z}+\frac{yz}{z+x}+\frac{z^2}{x+y}=x+y+z$

$\iff \frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{z+x}+\frac{z^2}{x+y}+\left(x+y\right)\frac{z}{x+y}+\left(y+z\right)\frac{x}{y+z}+\left(z+x\right)\frac{y}{z+x}=x+y+z$

$\iff \frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{z+x}+\frac{z^2}{x+y}+x+y+z=x+y+z$

$\iff \frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{z+x}+\frac{z^2}{x+y}=0$