Cho a +b +c=0 ( a khác 0, b khác 0, c khác 0) . Tính giá trị của biểu thức A= a^2/

Phương pháp:

Sử dụng hằng đẳng thức ${\left(x+y\right)}^2=x^2+2xy+y^2$

Biến đổi để có $A=\frac{a^3+b^3+c^3}{2abc}$

Sau đó chứng minh $a^3+b^3+c^3=3abc$ , từ đó ta tính được A.

Cách giải:

Vì $a+b+c=0$  nên $a=-b-c\Rightarrow a^2={\left(-b-c\right)}^2\Rightarrow a^2=b^2+2bc+c^2$

$\Rightarrow a^2-b^2-c^2=2bc$

Tương tự ta có: $b^2-a^2-c^2=2ac;c^2-b^2-a^2=2ab$

Khi đó:$A=\frac{a^2}{2bc}+\frac{b^2}{2ca}+\frac{c^2}{2ab}=\frac{a^3+b^3+c^3}{2abc}$

Vì $a+b+c=0$  nên $a+b=-c$

$\iff {\left(a+b\right)}^3=-c^3$

$\iff a^3+b^3+3ab\left(a+b\right)+c^3=0$

$\begin{array}{l}\iff a^3+b^3+c^3=-3ab.\left(-c\right)\\ \iff a^3+b^3+c^3=3abc\end{array}$

Từ đó:$A=\frac{a^3+b^3+c^3}{2abc}=\frac{3abc}{2abc}=\frac{3}{2}$

Vậy $A=\frac{3}{2}.$