Trên tia đối của tia CB lấy hai điểm P và Q sao cho CP=PQ=CM . Chứng minh: ME

Gọi $F=ME\cap AP$

Xét $\Delta AMP$ có AC là đường trung tuyến, $AE=\frac{2}{3}AC$  Þ E là trọng tâm $\Delta AMP$ $\Rightarrow EF=\frac{1}{2}ME$  

$EF\parallel ID(doME\parallel ID:cmt);ID=EF=\frac{1}{2}ME$

Þ IDFE là hình bình hành (tứ giác có cặp cạnh đối song song và bằng nhau là hình bình hành)

$\Rightarrow IE\parallel DF\left(1\right)$

Ta có: $BI=\frac{3}{4}BD$  (chứng minh trên); $BP=\frac{3}{4}BQ$

$\Rightarrow IP\parallel DQ$ (định lý Ta-lét đảo trong tam giác)

IP là đường trung tuyến trong  $\Delta AMP$ $\Rightarrow IP\equiv IE\Rightarrow IE\parallel DQ\left(2\right)$

Từ (1) và (2) $\Rightarrow DF\equiv DQ$  hay $F\in DQ$

Vậy ME, DQ, AP đồng quy tại F.