Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: A=2x^2 +10y^2-6xy -6x -2y +16

Phương pháp:

Đưa biểu thức về dạng:$A={\left[f\left(x\right)\right]}^2+a$

Khi đó biểu thức A min khi $f\left(x\right)=0$  và GTNN của A chính bằng a.

Cách giải:

$A=2x^2+10y^2-6xy-6x-2y+16$

$=x^2-6xy+9y^2+x^2-6x+9+y^2-2y+1+6$

$={\left(x-3y\right)}^2+{\left(x-3\right)}^2+{\left(y-1\right)}^2+6$

Ta có: ${\left(x-3y\right)}^2\ge 0;{\left(x-3\right)}^2\ge 0;{\left(y-1\right)}^2\ge 0$  với mọi x, y

$A\min \iff \left\{\begin{array}{l}{\left(x-3y\right)}^2=0\\ {\left(x-3\right)}^2=0\\ {\left(y-1\right)}^2=0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x-3y=0\\ x-3=0\\ y-1=0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=3y\\ x=3\\ y=1\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=3\\ y=1\end{array}\right.$

Vậy GTNN của A là 6 khi $x=3$  và $y=1$ .