Gọi I là giao điểm của AE và DC. Tia BI cắt DE tại K. Chứng minh

Gọi I là giao điểm của AE và DC. Tia BI cắt DE tại K. Chứng minh $KI=\frac{1}{6}AE$ .

Gọi $AC\cap BD=\left\{H\right\};AI\cap BD=O.$

Ta có: ACED là hình bình hành (cmt).

Mà $AE\cap CD=\left\{I\right\}\Rightarrow$ I là trung điểm của CD.

Lại có: O là trung điểm của AC

 $\Rightarrow$H là trực tâm của

$\Rightarrow \frac{IH}{AI}=\frac{1}{3}.$

Mà I là trung điểm của AE $\Rightarrow AI=\frac{1}{2}AE\Rightarrow IH=\frac{1}{6}AE.$

Ta có: BDEF là hình thoi (cmt)

$\Rightarrow$ DF là tia phân giác của  (tính chất hình thoi).

$\Rightarrow \angle BDC=\angle CDE.$

Ta có: BDEF là hình thoi (cmt) $\Rightarrow BD=DE$ (hai cạnh bên).

Xét $\Delta BDI$ và $\Delta EDI$ ta có:

DI chung

 $\angle IDB=\angle IDE\left(cmt\right)$

$BD=DE\left(cmt\right)$

$\Rightarrow \Delta BDI=\Delta EDI$ (c – g – c).

 $\Rightarrow \angle DBI=\angle DEI$ (hai góc tương ứng).

Và $IE=IB$ (hai cạnh tương ứng).

Xét $\Delta HBI$ và $\Delta KEI$ ta có:

$\angle HBI=\angle KEI\left(cmt\right)$

$IE=IB\left(cmt\right)$

$\angle HIB=\angle KIE$ (hai góc đối đỉnh)

$\Rightarrow \Delta HBI=\Delta KEI$ (g – c – g).

$\Rightarrow HI=IK.$

$\Rightarrow IK=\frac{1}{6}AE\left(dpcm\right).$