Cho x,y thuộc Z và x khác y . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Phương pháp:

Xét $y=0$

Xét $y\ne 0$ , chia cả tử và mẫu cho $y^2$ . Sau đó ta chứng minh biểu thức thu được lớn hơn hoặc bằng $-3$.

Cách giải:

Xét $y=0$, ta có:$P=1$ .

Xét $y\ne 0$, chia cả tử và mẫu của $\left(1\right)$ cho $y^2$, ta có:

$P=\frac{{\left(\frac{x}{y}\right)}^2-6\left(\frac{x}{y}\right)+6}{{\left(\frac{x}{y}\right)}^2-2\left(\frac{x}{y}\right)+1}$

Đặt $t=\frac{x}{y}\left(t\ne 1\right)$ . Biểu thức $P$  trở thành:

$P=\frac{t^2-6t+6}{t^2-2t+1}$

Ta sẽ đi chứng minh:$P\ge -3\left(\ast \right)$

Ta có:

$\frac{t^2-6t+6}{t^2-2t+1}\ge -3$

$\iff t^2-6t+6\ge -3t^2+6t-3$

$\iff 4t^2-12t+9\ge 0$

$\iff {\left(2t-3\right)}^2\ge 0$

$\Rightarrow \left(\ast \right)$ luôn đúng.

Dấu $"="$  xảy ra $\iff 2t-3=0\iff t=\frac{3}{2}\iff \frac{x}{y}=\frac{3}{2}\iff 2x=3y$ .

Vậy $\min P=-3$, đạt được khi $2x=3y$ .