Cho vuông tại A, có là một điểm tùy ý trên Qua kẻ đường thẳng vuông góc với cắt đoạn tại I và cắt tia tại D

Câu hỏi :

Cho $\Delta ABC$  vuông tại A, có là một điểm tùy ý trên BC. Qua M  kẻ đường thẳng vuông góc BC với cắt đoạn tại I và cắt CA tia tại D. Chứng minh rằng:

$\begin{array}{l}a)\Delta ABC~\Delta MDC\\ b)BI.BA=BM.BC\end{array}$

$c)CI$cắt BD tại K. Chứng minh $BI.BA+CI.CK$ không phụ thuộc vào vị trí của

 

điểm M

$d)\angle MAI=\angle BDI$, từ đó suy ra $AB$ là tia phân giác của $\angle MAK$

* Đáp án

* Hướng dẫn giải

a)     Áp dụng định lý Pytago vào $\Delta ABC$  vuông tại A

$\Rightarrow AC=\sqrt{B{C}^2-A{B}^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4\left(cm\right)$

b)    Xét $\Delta ABC,\Delta HBA$ có:

$\angle BAC=\angle AHB={90}^0,\angle ABC$chung $\Rightarrow \Delta ABC~\Delta HBA(g.g)$

$\Rightarrow \frac{AB}{BH}=\frac{BC}{BA}\left(1\right)\Rightarrow A{B}^2=BH.BC$

c)   $\Delta ABH$  có BD phân giác $\Rightarrow \frac{AB}{BH}=\frac{AD}{DH}\left(2\right)$

$\Delta ABC$ có  AE phân giác $\Rightarrow \frac{EC}{AE}=\frac{BC}{BA}\left(3\right)$

Từ (1), (2), (3) $\Rightarrow \frac{AD}{DH}=\frac{EC}{AE}$