Cho x + y + z = 0. chứng minh rằng x^3 + y^3 + z^3 = 3xyz

* Hướng dẫn giải

Ta có: ${\mathrm{x}}^3+{\mathrm{y}}^3+{\mathrm{z}}^3$

$\begin{array}{l}={\left(\mathrm{x}+\mathrm{y}\right)}^3-3\mathrm{xy}\left(\mathrm{x}+\mathrm{y}\right)+{\mathrm{z}}^3\\ ={\left(\mathrm{x}+\mathrm{y}\right)}^3+{\mathrm{z}}^3-3\mathrm{xy}.\left(-\mathrm{z}\right)(\mathrm{do}\mathrm{x}+\mathrm{y}+\mathrm{z}=0\Rightarrow \mathrm{x}+\mathrm{y}=-\mathrm{z})\\ =\left(\mathrm{x}+\mathrm{y}+\mathrm{z}\right)\left[{\left(\mathrm{x}+\mathrm{y}\right)}^2-\left(\mathrm{x}+\mathrm{y}\right)\mathrm{z}+{\mathrm{z}}^2\right]+3\mathrm{xyz}\\ =3\mathrm{xyz}\left(\mathrm{do}\mathrm{x}+\mathrm{y}+\mathrm{z}=0\right)\end{array}$