Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 3 cm, AC = 4 cm. từ B kẻ tia Bx song song với AC (Tia Bx thuộc nửa mặt phẳng bờ AB chứa điểm C),

a)     Xét $\Delta BMN$ và $\Delta AMC$ có : $\widehat{BMN}=\widehat{AMC}$ (đối đỉnh)    ; $\widehat{CAN}=\widehat{ANB}$ (so le trong)

b)   $\Rightarrow \Delta BMN~\Delta CMA(g-g)$

$\Delta BMN~\Delta CMA\Rightarrow \frac{MB}{CM}=\frac{MN}{MA}\left(1\right)$

$\Delta AMC$có AM là đường phân giác $\Rightarrow \frac{AB}{AC}=\frac{BM}{CM}\left(2\right)$

Từ (1) và (2) ta có: $\frac{AB}{AC}=\frac{MN}{AM}$

c)     Áp dụng định lý Pytago vào $\Delta ABC\Rightarrow BC=\sqrt{A{B}^2+A{C}^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5\left(cm\right)$

Ta có $\frac{AB}{AC}=\frac{BM}{CM}$ (từ (2)) $\Rightarrow \frac{AB}{AB+AC}=\frac{BM}{BM+MC}$ hay $\frac{3}{3+4}=\frac{BM}{5}\Rightarrow BM=\frac{15}{7}\left(cm\right)$

$\Rightarrow MC=5-\frac{15}{7}=\frac{20}{7}\left(cm\right)\Rightarrow \frac{S_{ABM}}{S_{AMC}}=\frac{\frac{1}{2}AH.BM}{\frac{1}{2}AH.MC}=\frac{BM}{MC}=\frac{15/7}{20/7}=\frac{3}{4}$