Cho tam giác ABC nhọn, đường cao AH. Kẻ HE vuông góc AB (E thuộc AB), HF vuông góc AC (F thuộc AC).

a) Vì AH là đường cao (giả thiết)

Þ AH ⊥ BC

Þ ∆AHB vuông tại H

Lại có HE ⊥ AB (giả thiết)

Þ ∆AEH vuông tại E

Do đó $\widehat{AEH}$= $\widehat{AHB}$ = 90°

Xét ∆AEH và ∆AHB có:

$\widehat{AEH}$= $\widehat{AHB}$ (chứng minh trên),

$\widehat{BAH}$ chung

Do đó ∆AEH ∽ ∆ AHB (g.g)

Þ $\frac{AH}{AB}$ = $\frac{AE}{AH}$ (tỉ số đồng dạng)

Þ AH² = AE.AB. (1)

b) Vì AH ⊥ BC (chứng minh câu a)

Þ $\widehat{AHC}$ = 90°

Vì HF ⊥ AC (giả thiết)

Þ $\widehat{AFH}$ = 90°

Xét ∆AFH và ∆AHC có

$\widehat{AFH}$ = $\widehat{AHC}$ = 90°,

$\widehat{HAF}$ chung

Do đó ∆AFH ᔕ ∆AHC (g.g)

Þ $\frac{AF}{AH}$ = $\frac{AH}{AC}$ (tỉ số đồng dạng)

Þ AH² = AF. AC (2)

Từ (1) và (2) suy ra: AE. AB = AF.AC.

c) Theo câu b có: AE. AB = AF.AC

Þ $\frac{AE}{AC}$ = $\frac{AF}{AB}$ 

Xét ∆AEF và ∆ACB có

$\widehat{A}$chung,

$\frac{AE}{AC}$ = $\frac{AF}{AB}$ (chứng minh trên)

Do đó ∆AEF ᔕ ∆ACB (c.g.c)

Þ $\frac{AE}{AC}$ = $\frac{AF}{AB}$= $\frac{E\text{}F}{BC}$ (tỉ số đồng dạng)

Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

$\frac{AE}{AC}$ = $\frac{AF}{AB}$= $\frac{E\text{}F}{BC}$ = $\frac{AE+A\text{}F+E\text{}F}{AC+AB+BC}=\frac{20}{30}=\frac{2}{3}$ 

(vì chu vi ∆AEF và ∆ACB lần lượt là 20 cm và 30 cm)

Þ $\frac{S_{AEF}}{S_{ABC}}$ = ${\left(\frac{AE}{AC}\right)}^2$= ${\left(\frac{2}{3}\right)}^2$ = $\frac{4}{9}$

$\Rightarrow \frac{S_{AEF}}{4}=\frac{S_{ABC}}{9}$ (tính chất tỉ lệ thức)

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

$\frac{S_{AEF}}{4}=\frac{S_{ABC}}{9}=\frac{S_{ABC}-S_{AEF}}{9-4}=\frac{25}{5}=5$

(do S_ABC – S_AEF = 25 (cm²))

Þ S_AEF = 5.4 = 20 (cm²)

Và S_ABC = 5.9 = 45 (cm²)

Vậy S_AEF = 20 cm² và S_ABC = 45 cm².