Cho x > 1; y > 1 và x + y = 6. Tìm giá trị nhỏ nhất của: S = 3x + 4y + 5/x-1 + 9/y-1

* Hướng dẫn giải

Với x > 1; y > 1 và x + y = 6 ta có:

S =  3x +  4y + $\frac{5}{x-1}$ + $\frac{9}{y-1}$

= $\left(\frac{5}{4}x+\frac{7}{4}x\right)$ + $\left(\frac{9}{4}y+\frac{7}{4}y\right)$ + $\frac{5}{x-1}$ + $\frac{9}{y-1}$ – $\frac{5}{4}$– $\frac{9}{4}$ + $\frac{7}{2}$

=  $\frac{5}{4}$x – $\frac{5}{4}$ + $\frac{5}{x-1}$ + $\frac{9}{4}$y – $\frac{9}{4}$ + $\frac{9}{y-1}$ + $\frac{7}{4}$x + $\frac{7}{4}$y + $\frac{7}{2}$

= $\frac{5}{4}$. (x – 1) + $\frac{5}{x-1}$ + $\frac{9}{4}$. (y – 1) + $\frac{9}{y-1}$ + $\frac{7}{4}$. (x + y) + $\frac{7}{2}$

= $\frac{7}{2}$. (x – 1) + $\frac{5}{x-1}$ + $\frac{9}{4}$. (y – 1) + $\frac{9}{y-1}$ + $\frac{7}{4}$. 6 + $\frac{7}{2}$

= $\frac{5}{4}$. (x – 1) + $\frac{5}{x-1}$ + $\frac{9}{4}$. (y – 1) + $\frac{9}{y-1}$ + 14

Với x > 1; y > 1, áp dụng bất đẳng thức Cosi cho hai số không âm $\frac{5}{4}$. (x – 1) và $\frac{5}{x-1}$ ta có:

$\frac{5}{4}$. (x – 1) + $\frac{5}{x-1}$ ≥ 2 $\sqrt{\frac{5}{4}(x-1).\frac{5}{(x-1)}}$ 

Þ $\frac{5}{4}$. (x – 1) + $\frac{5}{x-1}$ ≥  2. $\sqrt{\frac{25}{4}}$ = 2.$\frac{5}{2}$ = 5

Với x > 1; y > 1, áp dụng bất đẳng thức Cosi cho hai số không âm $\frac{9}{4}$. (y – 1) và $\frac{9}{y-1}$ ta có:

$\frac{9}{4}$. (y – 1) + $\frac{9}{y-1}$ ≥  2 $\sqrt{\frac{9}{4}(y-1).\frac{9}{(y-1)}}$ 

Þ $\frac{9}{4}$. (y – 1) + $\frac{9}{y-1}$ ≥  2 $\sqrt{\frac{81}{4}}$ = 2 .$\frac{9}{2}$ = 9

Do đó:

S ≥ 5 + 9 + 14 = 28

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi:

 $\left\{\begin{array}{l}\frac{5}{4}(x-1)=\frac{5}{x-1}\\ \frac{9}{4}(y-1)=\frac{9}{y-1}\\ x+y=6\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}x-1=2\\ y-1=2\\ x+y=6\end{array}\right.$ (do x > 1; y > 1)

$\iff \left\{\begin{array}{l}x=3\\ y=3\\ x+y=6\end{array}\right.$

Vậy S_min = 28 với x = y = 3.