Cho tam giác ABC có ba góc nhọn (AB < AC) có hai đường cao BE và CF cắt nhau tại H (E ∈ AC, F ∈ AB).

a) Xét ∆ ABE và ∆ ACF có:

$\widehat{A}$ chung

$\widehat{AEB}$ = $\widehat{AFC}$= 90° (Vì BE và CF lần lượt vuông góc với AC và AB)

Do đó ∆ ABE ᔕ ∆ ACF (g.g).

b) Ta có: ∆ABE ᔕ ∆ACF

$\Rightarrow$ $\frac{AE}{AF}$ = $\frac{AB}{AC}$

$\Rightarrow$$\frac{AE}{AB}$ = $\frac{AF}{AC}$ 

Xét ∆ AEF và ∆ ABC có:

$\widehat{A}$ chung

$\frac{AE}{AB}$ = $\frac{AF}{AC}$ (cmt)

Do đó ∆ AEF ᔕ ∆ ABC (c.g.c).

c)

+ Xét ∆ AIE và ∆ ACK ta có:

$\widehat{A}$ chung

$\widehat{AIE}$ = $\widehat{ACK}$= 90°

Do đó ∆ AIE ᔕ ∆ ACK (g.g).

$\Rightarrow$ $\frac{AE}{AK}$ = $\frac{AI}{AC}$

$\Rightarrow$ AE.AC = AI. AK (đpcm)

+ Vì BE và CK cùng vuông góc với AC nên: BE // CK hay là BH // CK (1)

 Ta có: $\frac{AE}{AB}$ = $\frac{AF}{AC}$ (cmt)

⇔ AE.AC = AF.AB

Mà AE.AC = AI. AK (cmt)

⇒ AF.AB = AI. AK

⇒ $\frac{AF}{AK}=\frac{AI}{AB}$

Xét ∆ AIF và ∆ ABK ta có:

$\frac{AF}{AK}=\frac{AI}{AB}$(cmt)

$\widehat{FAI}$ chung

⇒ ∆ AIF ~ ∆ ABK (c – g – c)

⇒ $\widehat{AIF}=\widehat{ABK}=90°$(hai góc tương ứng)

⇒ BK ⊥ AB

Mà CF ⊥ AB

⇒ BK // CF (2)

Từ (1) và (2) suy ra BHCK là hình bình hành.