d) Tìm vị trí của điểm E trên cạnh AB để tam giác HEF có diện tích nhỏ nhất.

d) Ta có:

+) ∆EHA ᔕ ∆FHC (cmt)

$\Rightarrow \frac{EH}{FH}=\frac{HA}{HC}$

+) ∆HAC ᔕ ∆ABC (cmt)

$\Rightarrow \frac{AB}{AC}=\frac{HA}{HC}$

Suy ra $\frac{EH}{FH}=\frac{AB}{AC}\left(=\frac{HA}{HC}\right)$

$\iff \frac{HE}{AB}=\frac{HF}{AC}$

+) Xét DEHF và DBAC có:

$\left.\begin{array}{c}\frac{HE}{AB}=\frac{HF}{AC}\left(cmt\right)\\ \widehat{EHF}=\widehat{BAC}\left(=90°\right)\end{array}\right\}\Rightarrow \Delta EHF\backsim \Delta BAC\left(c.g.c\right)$

Khi đó tỉ lệ diện tích của hai tam giác DEHF và DBAC cũng bằng bình phương tỉ lệ của hai cạnh HE và AB

$\iff \frac{S_{EHF}}{S_{BAC}}={\left(\frac{HE}{AB}\right)}^2\Rightarrow S_{EHF}=S_{BAC}.{\left(\frac{HE}{AB}\right)}^2$

Vì S_ABC và AB không đổi nên S_EHF nhỏ nhất khi HE nhỏ nhất

Do đó EH ^ AB.

Vậy S_EHF nhỏ nhất khi E là hình chiếu của H trên AB.