Chứng minh rằng a2 + b2 + 4 ≥ ab + 2(a + b) với mọi a, b.

Hướng dẫn giải

Xét I = a² + b² + 4 - ab - 2(a + b)

Û 2I = 2a² + 2b² + 8 - 2ab - 4(a + b) (nhân 2 vế của phương trình với 2)

Û 2I = 2a² + 2b² + 8 - 2ab - 4a - 4b

Û 2I = (a² - 2ab + 2b²) + (a² - 4a + 4) + (b² - 4b + 4)

Û 2I = (a - b)² + (a - 2)² + (b - 2)² ³ 0 "a, b

Þ I ³ 0 "a, b

Từ đó suy ra a² + b² + 4 - ab - 2(a + b) ³ 0 "a, b

Vậy a² + b² + 4 ≥ ab + 2(a + b) với mọi a, b.