c) Đường thẳng qua B và song song với EF cắt AC tại M. Gọi I là trung điểm của BM, D là giao điểm của EI và BC.

c) +) Xét ∆ABC có hai đường cao BE, CF và cắt nhau tại H nên suy ra H là trực tâm của tam giác ABC

Suy ra AH ^ BC (1)

+) Xét tam giác BEM vuông tại E có I là trung điểm của BM nên suy ra

$IE=BI=IM=\frac{BM}{2}$

+) Xét tam giác IEM có IE = IM (cmt) nên tam giác IEM tại I.

Suy ra $\widehat{IEM}=\widehat{IME}$(2)

+) Xét tam giác ABC có FE // BC suy ra $\widehat{AEF}=\widehat{AMB}$  (đồng vị) (3)

+) Ta có AF.AB = AE.AC

$\Rightarrow \frac{AF}{AC}=\frac{AE}{AB}$

+) Xét hai tam giác AEF và ABC có:

$\left.\begin{array}{c}\widehat{EAF}=\widehat{BAC}\left(\widehat{A}chung\right)\\ \frac{AF}{AC}=\frac{AE}{AB}\left(cmt\right)\end{array}\right\}\Rightarrow \Delta AEF\backsim \Delta ABC\left(c.g.c\right)$

$\Rightarrow \widehat{AEF}=\widehat{ABC}$ (hai góc tương ứng) (4)

Từ (2), (3), (4) suy ra $\widehat{CED}=\widehat{ABC}$ .

+) Xét hai tam giác CED và CBA có:

$\left.\begin{array}{c}\widehat{ECD}=\widehat{BCA}\left(\widehat{C}chung\right)\\ \widehat{CED}=\widehat{ABC}\left(cmt\right)\end{array}\right\}\Rightarrow \Delta CED\backsim \Delta CBA\left(g.g\right)$

$\Rightarrow \frac{CE}{CB}=\frac{CD}{CA}\iff \frac{CE}{CD}=\frac{CB}{CA}$

+) Xét hai tam giác CEB và CDA có:

$\left.\begin{array}{c}\frac{CE}{CD}=\frac{CB}{CA}\left(cmt\right)\\ \widehat{ECB}=\widehat{DCA}\left(\widehat{C}chung\right)\end{array}\right\}\Rightarrow \Delta CEB\backsim \Delta CDA\left(c.g.c\right)$

Suy ra $\widehat{CDA}=\widehat{CEB}$  (hai góc tương ứng)

Nên $\widehat{CDA}=90°$

Do đó  $AD\perp BC$(5)

Từ (1) và (5) nên suy ra A, H, D thẳng hàng (đpcm).