Xác định vị trí điểm M thuộc cạnh AC để diện tích tam giác BIC đạt giá trị lớn nhất.

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si vào hai cạnh IB và IC ta thấy:

IB² + IC² ³ 2IB.IC

$\iff IB.IC\le \frac{I{B}^2+I{C}^2}{2}$

Mà áp dụng định lý Py-ta-go vào tam giác BIC vuông tại I nên

BC² = IB² + IC²

Thay vào (1) ta suy ra được:

$S_{BIC}\le \frac{1}{2}.\frac{I{B}^2+I{C}^2}{2}=\frac{B{C}^2}{4}=\frac{10}{4}=\frac{5}{2}\left(c{m}^2\right)$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi IB = IC.

Suy ra DIBC cân tại I nên tam giác IBC vuông cân tại I

$\iff \widehat{MBC}=45°$

Vậy khi điểm M thuộc AC sao cho $\widehat{MBC}=45°$  thì diện tích tam giác BIC đạt giá trị lớn nhất.