Cho f(x)=x^2/ x^2 + (x-1)^2 . Hãy tính giá trị của biểu thức sau:

Hướng dẫn giải

Ta có: $f\left(x\right)=\frac{x^2}{x^2+{\left(x-1\right)}^2}$

$\Rightarrow f\left(1-x\right)=\frac{{\left(1-x\right)}^2}{{\left(1-x\right)}^2+{\left(1-x-1\right)}^2}=\frac{{\left(1-x\right)}^2}{{\left(1-x\right)}^2+x^2}$

Khi đó: $f\left(x\right)+f\left(1-x\right)=\frac{x^2}{x^2+{\left(x-1\right)}^2}+\frac{{\left(1-x\right)}^2}{{\left(1-x\right)}^2+x^2}$

$=\frac{x^2+{\left(1-x\right)}^2}{x^2+{\left(x-1\right)}^2}=1$

Ta xét hai dãy:

$A=f\left(\frac{1}{2021}\right)+f\left(\frac{2}{2021}\right)+\mathrm{...}+f\left(\frac{2019}{2021}\right)+f\left(\frac{2020}{2021}\right)$

$A=f\left(\frac{2020}{2021}\right)+f\left(\frac{2019}{2021}\right)+\mathrm{...}+f\left(\frac{2}{2021}\right)+f\left(\frac{1}{2021}\right)$

+)  (1)

+)  (2)

Cộng vế với vế của (1) và (2) ta có:

$2A=\left[f\left(\frac{1}{2021}\right)+f\left(\frac{2020}{2021}\right)\right]+\left[f\left(\frac{2}{2021}\right)+f\left(\frac{2019}{2021}\right)\right]+\mathrm{...}+\left[f\left(\frac{2020}{2021}\right)+f\left(\frac{1}{2021}\right)\right]$

Û 2A = 1 + 1 + ... + 1

Û 2A = 2020 Û A = 1010

Vậy A = 1010.