Cho hai số a, b thỏa mãn a + b ≠ 0. Chứng minh rằng:

Hướng dẫn giải

Ta có: $a^2+b^2+{\left(\frac{ab+1}{a+b}\right)}^2\ge 2$

Û (a² + b²)(a + b)² + (ab + 1)² ³ 2(a + b)²

Û (a + b)²[(a + b)² - 2ab] + (ab + 1)² - 2(a + b)² ³ 0

Û (a + b)⁴ - 2ab(a + b)² + (ab + 1)² - 2(a + b)² ³ 0

Û (a + b)⁴ - 2(a + b)²(ab + 1) + (ab + 1)² ³ 0

Û [(a + b)² - (ab + 1)]² ³ 0 (luôn đúng "a, b)

Vậy suy ra $a^2+b^2+{\left(\frac{ab+1}{a+b}\right)}^2\ge 2\left(\forall a,b\right).$