Cho a > 0 và b > 0, chứng tỏ rằng: (a + b)(1/a + 1/b) lớn hơn hoặc bằng 4

* Hướng dẫn giải

Ta có: ${\left(a-b\right)}^2$ $\ge$ 0

      ⇔ $a^2$ + $b^2$ – 2ab $\ge$ 0

      ⇔ $a^2$ + $b^2$ – 2ab + 2ab $\ge$ 2ab

      ⇔ $a^2$ + $b^2$ $\ge$ 2ab

Vì a $\ge$ 0, b $\ge$ 0 nên ab $\ge$ 0 ⇒ 1/ab ≥ 0

       ($a^2$ + $b^2$).1/ab $\ge$ 2ab.1/ab

       ⇔ a/b + b/a $\ge$ 2

       ⇔ 2 + a/b + b/a $\ge$ 2 + 2

       ⇔ 2 + a/b + b/a $\ge$ 4

       ⇔ 1 + 1 + a/b + b/a $\ge$ 4

      ⇔ a/a + b/b + a/b + b/a $\ge$ 4

      ⇔ a(1/a + 1/b ) + b(1/a + 1/b ) $\ge$ 4

      ⇔ (a + b)(1/a + 1/b ) $\ge$ 4