Chứng minh rằng với mọi số nguyên tố n ta có: (4n + 3)^2 – 25 chia hết cho 8

* Hướng dẫn giải

Cách 1: ${\left(4n+3\right)}^2-25={\left(4n+3\right)}^2-5^2$

= (4n + 3 + 5)(4n + 3 – 5)

= (4n + 8)(4n – 2)

= 4(n + 2). 2(2n – 1)

= 8(n + 2)(2n – 1).

Vì n ∈ Z nên (n + 2)(2n – 1) ∈ Z. Do đo 8(n + 2)(2n – 1) chia hết cho 8.

Cách 2: ${\left(4n+3\right)}^2-25=16n^2+24n+9-25$ 

= 16$n^2$ + 24n – 16

= 8( 2$n^2$ + 3n – 2).

Vì n ∈ Z nên 2$n^2$ + 3n – 2 ∈ Z. Do đo 8( 2$n^2$ + 3n – 2) chia hết cho 8.