Cho hình vuông ABCD. Gọi M, N, P, Q tương ứng là trung điểm của

* Hướng dẫn giải

Do ABCD là hình vuông có M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của BC, CD, DA, AB nên: AQ = QB = BM = MC= CN = ND = DP = PA

Xét Δ APQ và Δ BQM:

AQ = BM (gt)

$\angle$A = $\angle$B = ${90}^0$

AP = BQ (gt)

Do đó: $△$ APQ = $△$ BQM (c.g.c) ⇒ PQ = QM (1)

Xét $△$ BQM và $△$CMN:

BM = CN (gt)

$\angle$B = $\angle$C = ${90}^0$

BQ = CM (gt)

Do đó: $△$ BQM = $△$CMN (c.g.c) ⇒ QM = MN (2)

Xét $△$ CMN và $△$ DNP:

CN = DP (gt)

$\angle$C = $\angle$D = ${90}^0$

CM = DN (gt)

Do đó: $△$CMN = $△$DNP (c.g.c) ⇒ MN = NP (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra: MN = NP = PQ = QM

nên tứ giác MNPQ là hình thoi

Vì AP = AQ nên $△$APQ vuông cân tại A

BQ = BM nên $△$BMQ vuông cân tại B

⇒ $\angle$(AQP) = $\angle$(BQM) = ${45}^0$

$\angle$(AQP) + $\angle$(PQM) + $\angle$(BQM) = ${180}^0$ (kề bù)

⇒ $\angle$(PQM) = ${180}^0$ - ( $\angle$(AQP) + $\angle$(BQM) )

            = ${180}^0$- (${45}^0$ +${45}^0$) = ${90}^0$

Vậy tứ giác MNPQ là hình vuông.