Cho hình vuông ABCD. Trên AB, BC, CD, DA lấy theo thứ tự các điểm

* Hướng dẫn giải

Ta có: AB = BC = CD = DA (gt)

AE = BK = CP = DQ (gt)

Suy ra: EB = KC = PD = QA

* Xét ΔAEQ và ΔBKE,ta có:

AE = BK (gt)

$\angle$(EAQ) = $\angle$(KBE) = ${90}^0$

QA = EB (chứng minh trên)

Suy ra: $△$AEQ = $△$BKE (c.g.c) ⇒ EQ = EK (1)

* Xét $△$BKEvà $△$CPK,ta có: BK = CP (gt)

             $\angle$(KBE) = $\angle$(PCK) = ${90}^0$

             EB = KC ( chứng minh trên)

Suy ra: $△$BKE = $△$CPK (c.g.c) ⇒ EK = KP (2)

* Xét $△$CPK và $△$DQP,ta có: CP = DQ (gt)

             $\angle$C = $\angle$D = ${90}^0$

             DP = CK ( chứng minh trên)

Suy ra: $△$CPK = $△$DQP (c.g.c) ⇒ KP = PQ (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra: EK = KP = PQ = EQ

Hay tứ giác EKPQ là hình thoi.

Mặt khác: $△$AEQ = $△$BKE

⇒ $\angle$(AQE) = $\angle$(BEK)

Mà $\angle$(AQE) + $\angle$(AEQ) = ${90}^0$

⇒ $\angle$(BEK) + $\angle$(AEQ) = ${90}^0$

Ta có: $\angle$(BEK) + $\angle$(QEK) + $\angle$(AEQ ) = ${180}^0$

Suy ra: $\angle$(QEK ) = ${180}^0$ -( $\angle$(BEK ) + $\angle$(AEQ) )= ${180}^0$ - ${90}^0$ = ${90}^0$

Vậy tứ giác EKPQ là hình vuông.