Cho hình thoi ABCD, O là giao điểm của hai đường chéo. Các tia phân

* Hướng dẫn giải

Ta có: $\angle$(AOB) và $\angle$(COD) đối đỉnh nên E, O, G thẳng hàng

$\angle$(BOC) và $\angle$(AOD) đối đỉnh nên F, O, H thẳng hàng

Xét $∆$BEO và $∆$BFO:

$\angle$(EBO) = $\angle$(FBO) (tính chất hình thoi)

OB cạnh chung

$\angle$(EOB) = $\angle$(FOB) = ${45}^0$ (gt)

Do đó: $∆$BEO = $∆$BFO (g.c.g)

⇒ OE = OF (1)

Xét $∆$BEO và $∆$DGO:

$\angle$(EBO) = $\angle$(GDO) (so le trong)

OB = OD(tính chất hình thoi)

$\angle$(EOB) = $\angle$(GOD) (đối đỉnh)

Do đó: $∆$BEO = $∆$DGO (g.c.g)

⇒ OE = OG (2)

Xét $∆$AEO và $∆$AHO:

$\angle$(EAO) = $\angle$(HAO) (tính chất hình thoi)

OA cạnh chung

$\angle$(EOA) = $\angle$(HOA) = ${45}^0$ (gt)

Do đó: $∆$AEO = $∆$AHO (g.c.g)

⇒ OE = OH (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra: OE = OF = OG = OH hay EG = FH

nên tứ giác EFGH là hình chữ nhật (vì có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường và bằng nhau)

OE ⊥ OF (tính chất tia phân giác của hai góc kề bù)

hay EG ⊥ FH

Vậy hình chữ nhật EFGH là hình vuông.