Cho hình bình hành ABCD, các đường chéo cắt nhau tại O. Gọi E,F,G,H

* Hướng dẫn giải

Ta có: $\angle$(AOB) = $\angle$(COD) (đối đỉnh)

$\angle$(EOB ) = 1/2 $\angle$(AOB) (gt)

$\angle$(COG) = 1/2 $\angle$(COD) (gt)

Suy ra: $\angle$(EOB ) = $\angle$(COG)

$\angle$(EOB) +$\angle$(BOC) +$\angle$(COG) = 2 $\angle$(EOB) + $\angle$(BOC)

Mà $\angle$(AOB ) + $\angle$(BOC) = ${180}^0$ ( kề bù).Hay 2 $\angle$(EOB) + $\angle$(BOC ) = ${180}^0$

Suy ra: E,O,G thẳng hàng

Ta lại có: $\angle$(BOC) = $\angle$(AOD ) ( đối đỉnh)

$\angle$(HOD) = 1/2 $\angle$(AOD) (gt)

$\angle$(FOC) = 1/2 $\angle$(BOC) (gt)

Suy ra: $\angle$(HOD) = $\angle$(FOC)

$\angle$(HOD) + $\angle$(COD ) + $\angle$(FOC) = 2 $\angle$(HOD) + $\angle$(COD)

Mà $\angle$(AOD) + $\angle$(COD) = ${180}^0$ ( kề bù). Hay 2 $\angle$(HOD) + $\angle$(COD) = ${180}^0$

Suy ra: H, O, F thẳng hàng

$\angle$(ADO) = $\angle$(CBO) ( so le trong)

$\angle$(HDO) = $\angle$(FBO) ( chứng minh trên)

OD = OB ( t/chất hình bình hành)

$\angle$(HOD) = $\angle$(FOB ) ( đối đỉnh)

Do đó: $∆$BFO = $∆$DHO (g.c.g)

⇒ OF = OH

$\angle$(OAB) = $\angle$(OCD) ( so le trong)

$\angle$(OAE) = 1/2 $\angle$(OAB ) (gt)

$\angle$(OCG) = 1/2 $\angle$(OCD) (gt)

Suy ra: $\angle$(OAE) = $\angle$(OCG)

Xét $∆$OAE và $∆$OCG,ta có :

$\angle$(OAE) = $\angle$(OCG) ( chứng mình trên)

OA = OC ( t/chất hình bình hành)

$\angle$(EOA) = $\angle$(GOC) ( đối đỉnh)

Do đó: $∆$OAE= $∆$OCG (g.c.g) ⇒ OE = OG

Suy ra tứ giác EFGH là hình bình hành ( vì có 2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường)

OE ⊥ OF (tính chất tia phân giác của hai góc kề bù) hay EG ⊥ FH

Vậy tứ giác EFGH là hình thoi