Giải phương trình: \(\dfrac{{x + 1}}{{x - 2}} + \dfrac{{x - 1}}{{x + 2}} = \dfrac{{2\left( {{x^2} + 2} \right)}}{{{x^2} - 4}}\)

* Hướng dẫn giải

Điều kiện xác định: \(x \ne 2;\; x \ne  - 2\)

Quy đồng mẫu thức, ta có:

\(\dfrac{{x + 1}}{{x - 2}} + \dfrac{{x - 1}}{{x + 2}} = \dfrac{{2\left( {{x^2} + 2} \right)}}{{{x^2} - 4}}\)

\(\Leftrightarrow  \dfrac{{(x + 1)(x + 2)}}{{{x^2} - 4}} + \dfrac{{(x - 1)(x - 2)}}{{{x^2} - 4}}\)\(\, = \dfrac{{2\left( {{x^2} + 2} \right)}}{{{x^2} - 4}}\) 

Khử mẫu ta được phương trình: 

\( \left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right) + \left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right) \)\(\,= 2\left( {{x^2} + 2} \right)\) 

\(\Leftrightarrow {x^2} + x + 2x + 2 + {x^2} - x - 2x + 2 \) \(=2{x^2} + 4\)

\(\Leftrightarrow 2{x^2} + 4 = 2{x^2} + 4\)

\(\Leftrightarrow 0x = 0 \left( \text{ luôn đúng } {\forall x \in\mathbb R} \right)\)

Mà ĐKXĐ :\(x \ne  \pm 2\)

Vậy phương trình có vô số nghiệm \(x \in\mathbb R;x \ne 2;x \ne  - 2\).