Biết \(x_0 \) là nghiệm nhỏ nhất của phương trình \( \frac{1}{{{x^2} + 4x + 3}} + \frac{1}{{{x^2} + 8x + 15}} + \frac{1}{{{x^2} + 12x + 35}} + \frac{1}{{{x^2} + 16x + 63}} = \frac{...

* Hướng dẫn giải

Phân tích các mẫu thành nhân tử sau đó nhân cả 2 vế của phương trình với 2 ta được:

\(\begin{array}{l} pt \Leftrightarrow \frac{1}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x + 3} \right)}} + \frac{1}{{\left( {x + 3} \right)\left( {x + 5} \right)}} + \frac{1}{{\left( {x + 5} \right)\left( {x + 7} \right)}} + \frac{1}{{\left( {x + 7} \right)\left( {x + 9} \right)}} = \frac{1}{5}\\ \Leftrightarrow \frac{2}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x + 3} \right)}} + \frac{2}{{\left( {x + 3} \right)\left( {x + 5} \right)}} + \frac{2}{{\left( {x + 5} \right)\left( {x + 7} \right)}} + \frac{2}{{\left( {x + 7} \right)\left( {x + 9} \right)}} = \frac{2}{5} \end{array}\)

ĐKXĐ: \(x ≠ − 1 ; − 3 ; − 5 ; − 7 ; − 9\)

Khi đó: 

\(\begin{array}{l} pt \Leftrightarrow \frac{1}{{x + 1}} - \frac{1}{{x + 3}} + \frac{1}{{x + 3}} - \frac{1}{{x + 5}} + \frac{1}{{x + 5}} - \frac{1}{{x + 7}} + \frac{1}{{x + 7}} - \frac{1}{{x + 9}} = \frac{2}{5} \Leftrightarrow \frac{1}{{x + 1}} - \frac{1}{{x + 9}} = \frac{2}{5} \Leftrightarrow \frac{{1\left( {x + 9} \right) - 1\left( {x + 1} \right)}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x + 9} \right)}} = \frac{{2\left( {x + 1} \right)\left( {x + 9} \right)}}{{5\left( {x + 1} \right)\left( {x + 9} \right)}}\\ \Rightarrow 5\left[ {x + 9 - \left( {x + 1} \right)} \right] = 2\left( {x + 1} \right)\left( {x + 9} \right)\\ \Leftrightarrow 5\left( {x + 9 - x - 1} \right) = 2{x^2} + 20x + 18\\ \Leftrightarrow 40 = 2{x^2} + 20x + 18 \Leftrightarrow 2{x^2} + 20x - 22 = 0 \Leftrightarrow {x^2} + 10x - 11 = 0\\ \to (x - 1)(x + 11) = 0 \to \left[ \begin{array}{l} x = 1(ktm)\\ x = - 11(tm) \end{array} \right. \end{array}\)

Vậy \(x_0=−11<−5\)