Tìm \(m\) để hai bất phương trình sau có cùng tập nghiệm: \({x^2}\left( {x - 5} \right) > 4 - 5x\) và \(mx - 5 > x - 2m\).

* Hướng dẫn giải

Tìm \(m\) để hai bất phương trình sau có cùng tập nghiệm: \({x^2}\left( {x - 5} \right) > 4 - 5x\) và \(mx - 5 > x - 2m\).

\(\begin{array}{l}{x^2}\left( {x - 5} \right) > 4 - 5x\\ \Leftrightarrow {x^3} - 5{x^2} > 4 - 5x\\ \Leftrightarrow {x^3} - 5{x^2} + 5x - 4 > 0\\ \Leftrightarrow {x^3} - 4{x^2} - {x^2} + 4x + x - 4 > 0\\ \Leftrightarrow {x^2}\left( {x - 4} \right) - x\left( {x - 4} \right) + \left( {x - 4} \right) > 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - 4} \right)\left( {{x^2} - x + 1} \right) > 0\end{array}\)

Vì  \({x^2} - x + 1\)\( = {x^2} - 2.x.\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4} + \dfrac{3}{4}\) \( = {\left( {x - \dfrac{1}{2}} \right)^2} + \dfrac{3}{4} \ge \dfrac{3}{4} > 0\) với mọi \(x\)

\( \Rightarrow x - 4 > 0 \Leftrightarrow x > 4\)

Lại có:

 \(\begin{array}{l}mx - 5 > x - 2m\\ \Leftrightarrow mx - x > 5 - 2m\\ \Leftrightarrow \left( {m - 1} \right)x > 5 - 2m\end{array}\)

TH1: \(m - 1 = 0 \Leftrightarrow m = 1 \Rightarrow 0x > 5 - 2.1 = 3\) (vô lý)

TH2: \(m - 1 \ne 0 \Leftrightarrow m \ne 1\)

Để hai bất phương trình đã cho có cùng tập nghiệm \(x > 4\) thì \(m - 1 > 0 \Leftrightarrow m > 1\)\( \Rightarrow x > \dfrac{{5 - 2m}}{{m - 1}}\) và \(\dfrac{{5 - 2m}}{{m - 1}} = 4\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow 5 - 2m = 4m - 4\\ \Leftrightarrow  - 6m =  - 9\\ \Leftrightarrow m = \dfrac{3}{2}\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array}\)

Vậy với \(m = \dfrac{3}{2}\) thì hai bất phương trình có cùng tập nghiệm.