cho mạch điện như hình vẽ, trong đó R1=3R; R2=R4=R; hiệu điện thế giữa hai đầu mạch điện

* Hướng dẫn giải

a) Tìm công suất tỏa nhiệt trên điện trở $R_4$

Chọn chiều dòng điện qua các điện trở trong mạch như hình vẽ.

* Xét tại nút A ta có: $I=I_1+I_2$       (1)

Với vòng kín ACDA  ta có:

$I_1{R}_1-I_X{R}_X-I_2{R}_2$  =  0                           (2)

Thế (1) vào (2) ta được biểu thức I :

$$\begin{gathered} I_1{R}_1 - I_X{R}_X - (I - I_1)R_2 = 0 \\ {I}_1{R}_1 - I_X{R}_X - I{R}_2 +\hspace{0.17em}{I}_1{R}_2 = 0 \\ {I}_1(R_1 + R_2) = I_X{R}_X+I{R}_2 \\ \Rightarrow I_1=\frac{I_X.R_X+I.R_2}{R_1+R_2}=\frac{I_X.R_X+I.R}{4R} \end{gathered}$$         (3)

* Xét tại nút B ta có: $I_3 = I- I_4$        (4)

Với vòng kín BCDB ta có:

$$\begin{gathered} I_3{R}_3 - I_X{R}_X + I_4{R}_4 = 0 \\ {I}_{3}R - I_X{R}_X +I_{4}X = 0 \end{gathered}$$               (5)

Thế (4) vào (5) ta có biểu thức $I_4$:
$$\begin{gathered} (I - I_4)R - I_X{R}_X + I_{4}R = 0 \\ I.R + I_{4}R - I_X{R}_X +I_{4}R = 0 \end{gathered}$$

$\Rightarrow I_4 = \frac{I.R + I_X{R}_X}{2R}$    (6)

Từ (3) và (6) ta có:   =  2 ð    =    = 

Vậy công suất tỏa nhiệt trên $R_4$ khi đó là $P_4 =\frac{4}{3}{P}_1 =12W.$

b) Tìm $R_X$ theo R để công suất tỏa nhiệt trên $R_X$ cực đại

Từ (4) và (5) ta có biểu thức $I_3$:

$$\begin{gathered} I_{3}R -I_X{R}_X + (I - I_3)R = 0 \\ {I}_{3}R -I_X{R}_X + IR - I_{3}R = 0 \\ \Rightarrow I_3= \frac{I.R-I_X{R}_X}{2R} \end{gathered}$$                               (7)

Ta có:  $$\begin{gathered} U = U_{AB} = U_{AC} +\hspace{0.17em}{U}_{CB} = I_1.R_1 + I_3{R}_3 \\ U = I_{1}3R +\hspace{0.17em}{I}_{3}R \end{gathered}$$                    (8)

Thế (3) và (7) vào (8) ta được:

$$\begin{gathered} U = \left(\frac{I_X{R}_X+I.R}{4R}\right).3R+\left(\frac{I.R-I_X{R}_X}{2R}\right).R \\ 4U=3.I_X{R}_X+3.I.R+2I.R-2I_X{R}_X \\ 4U=5.I.R+I_X{R}_X \end{gathered}$$                          (9)

Tính I:

Ta có:  

$$\begin{gathered} I = I_1 + I_2 = I_1 + I_4 + I_X = 3I_1 + I_X =3.\left(\frac{I_X{R}_X+IR}{4R}\right) + IX \\ \Rightarrow 4.I.R = 3I_X{R}_X +3.I.R+4.I_X.R \\ \Rightarrow IR = 3I_X.R_X + 4.I_X.R thay vào \left(9\right) ta được: \\ 4U = 5.(3I_X.R_X+4I_X.R)+I_X{R}_X = 15.I_X.R_X+20I_{X}R+I_X{R}_X=16.I_X{R}_X+20I_{X}R \\ \Rightarrow I_X=\frac{U}{4R_X+5R} \end{gathered}$$

Hai số dương $4\sqrt{R_x}$ và $\frac{5R}{\sqrt{R_x}}$  có tích $4\sqrt{R_x} .\frac{5R}{\sqrt{R_x}} = 20R$ không đổi thì theo bất đẳng thức Côsi, tổng của hai số đó nhỏ nhất khi hai số đó bằng nhau nghĩa là khi $4\sqrt{R_x} = \frac{5R}{\sqrt{R_x}} \Rightarrow R_x =1,25R$; mẫu số ở vế phải của biểu thức (10) nhỏ nhất nghĩa là $P_X$ cực đại. Vậy PX cực đại khi $R_X =1,25R.$