Chứng minh rằng trong một tứ giác tổng độ dài hai đường chéo bao giờ

* Hướng dẫn giải

Đặt p = AB + BC + CD + DA

Ta có: OA + OD > AD (1)

OA + OB > AB (2)

OB + OC > BC (3)

OC + OD > CD (4)

Cộng vế theo vế (1), (2), (3), (4) ta có:

2(OA + OB + OC + OD) > AB + BC + CD + DA

2(AC + BD) > p

AC + BD > p/2 (*)

Mặt khác: Trong ΔABC có AC < AB + BC (5)

Trong ΔACD có AC < AD + CD (6)

Cộng vế theo vế (5) và (6) ta có:

2AC < AB + BC + CD + DA

Tương tự ta cũng có BD < p/2. Suy ra: AC + BC < (p/2) + (p/2)

Hay AC + BD < p (**)

Từ (*) và (**) ta có: (p/2) < AC + BD < p.