Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi D là điểm đối xứng với H

* Hướng dẫn giải

a) Tứ giác AIHK là hình gì? Vì sao?

$\mathrm{\Delta ABC}$ vuông tại A $\Rightarrow \widehat{\mathrm{IAK}}={90}^{\circ }$.

Vì D đối xứng với H qua AB nên $\widehat{\mathrm{IHA}}={90}^{\circ }$.

Vì E đối xứng với H qua AC nên $\widehat{\mathrm{HKA}}={90}^{\circ }$.

$\Rightarrow \widehat{\mathrm{BAC}}=\widehat{\mathrm{IHA}}=\widehat{\mathrm{HKA}}={90}^{\circ }$

Xét tứ giác AIHK có $\Rightarrow \widehat{\mathrm{BAC}}=\widehat{\mathrm{IHA}}=\widehat{\mathrm{HKA}}={90}^{\circ }$. Suy ra, tứ giác AIHK là hình chữ nhật (dấu hiệu nhận biết).

b) Chứng minh ba điểm D, A, E thẳng hàng.

Vì D đối xứng với H qua AB nên $\Rightarrow \mathrm{\Delta ADH}$ cân tại A. Mà AI là đường cao trong $\mathrm{\Delta ADH}$ nên AI cũng là đường phân giác của góc $\mathrm{DAH}$ $\Rightarrow \widehat{\mathrm{DAI}}=\widehat{\mathrm{IAH}}$

Tương tự, ta cũng chứng minh được: $\widehat{\mathrm{HAK}}=\widehat{\mathrm{KAE}}$ 

Ta có:

$\widehat{\mathrm{DAE}}=\widehat{\mathrm{DAI}}+\widehat{\mathrm{IAH}}+\widehat{\mathrm{HAK}}+\widehat{\mathrm{KAE}}$$=2\left(\widehat{\mathrm{IAH}}+\widehat{\mathrm{HAK}}\right)={180}^{\circ }$

=> D, A, E thẳng hàng.

c) Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh $\mathrm{AM}\perp \mathrm{IK}$.

Gọi O là giao điểm của AM và IK. Gọi G là giao điểm hai đường chéo của hình chữ nhật AIHK.

$\mathrm{\Delta ABC}$ vuông tại A có AM là đường trung tuyến suy ra AM = BM = CM.

$\Rightarrow \mathrm{\Delta AMC}$ cân tại M (dấu hiệu nhận biết)

$\Rightarrow \widehat{\mathrm{MAC}}=\widehat{\mathrm{MCA}}$ (tính chất)

Vì tứ giác AIHK là hình chữ nhật nên GA = GH = GI = GK.

$\Rightarrow \mathrm{\Delta GKA}$ cân tại G $\Rightarrow \widehat{\mathrm{GKA}}=\widehat{\mathrm{GAK}}$.

Ta lại có: $$\begin{gathered} \left.\begin{array}{l}\widehat{\mathrm{ABH}}+\widehat{\mathrm{BAH}}={90}^{\circ }\\ \widehat{\mathrm{BAH}}+\widehat{\mathrm{HAC}}={90}^{\circ }\end{array}\right\}\Rightarrow \widehat{\mathrm{ABH}}=\widehat{\mathrm{HAC}} \\ \Rightarrow \widehat{\mathrm{ABH}}=\widehat{\mathrm{GAK}} \end{gathered}$$

$\Rightarrow \widehat{\mathrm{GKA}}=\widehat{\mathrm{ABH}}\Rightarrow \widehat{\mathrm{OKA}}=\widehat{\mathrm{ABH}}$ 

Xét tam giác ABC có: $\widehat{\mathrm{ABC}}+\widehat{\mathrm{ACB}}={90}^{\circ }$ hay $\widehat{\mathrm{ABH}}+\widehat{\mathrm{MCA}}={90}^{\circ }$

Mà $\widehat{\text{OKA}}\text{=}\widehat{\text{ABH}}$ và $\widehat{\text{MAC}}\text{=}\widehat{\text{MCA}}$ nên ta có: $\widehat{\mathrm{OKA}}+\widehat{\mathrm{MAC}}={90}^{\circ }$

Suy ra, $\widehat{\mathrm{OAK}}+\widehat{\mathrm{OKA}}={90}^{\circ }\Rightarrow \widehat{\mathrm{AOK}}={90}^{\circ }$

Suy ra, $\mathrm{AM}\perp \mathrm{IK}$ tại O.