Chứng minh rằng với mọi số nguyên m, n ta đều có m^3.n - mn^3

* Hướng dẫn giải

Với mọi số nguyên m, n ta có:

+) Vì $\mathrm{m}\left(\mathrm{m}-1\right)\left(\mathrm{m}+1\right)$ là tích ba số nguyên liên tiếp nên $\mathrm{m}\left(\mathrm{m}-1\right)\left(\mathrm{m}+1\right)$ chia hết cho 6

$\Rightarrow \mathrm{nm}\left(\mathrm{m}-1\right)\left(\mathrm{m}+1\right)$ chia hết cho 6

+) Vì $\mathrm{n}\left(\mathrm{n}-1\right)\left(\mathrm{n}+1\right)$ là tích ba số nguyên liên tiếp nên $\mathrm{n}\left(\mathrm{n}-1\right)\left(\mathrm{n}+1\right)$ chia hết cho 6

$\Rightarrow \mathrm{mn}\left(\mathrm{n}-1\right)\left(\mathrm{n}+1\right)$ chia hết cho 6

$\Rightarrow {\mathrm{m}}^3\mathrm{n}-{\mathrm{mn}}^3$ chia hết cho 6 (Tính chất chia hết của một hiệu)

Vậy với mọi số nguyên m, n ta đều có ${\mathrm{m}}^3\mathrm{n}-{\mathrm{mn}}^3$ chia hết cho 6.