Cho phân thức M = (a^2 +b^2 +c^2) (a+b+c)^2 +(ab+bc+ca)^2

* Hướng dẫn giải

Ta có

${\left(a+b+c\right)}^2-\left(ab+bc+ca\right)=0\iff a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca=0$

$\iff 2a^2+2b^2+2c^2+2ab+2bc+2ca=0$

$\iff {\left(a+b\right)}^2+{\left(b+c\right)}^2+{\left(c+a\right)}^2=0\iff a+b=b+c=c+a=0$

$\iff a=b=c=0$

Vậy điều kiện để phần thức M được xác định là a, b, c không đồng thời bằng 0.

b) Chú ý rằng ${\left(a+b+c\right)}^2=a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right)$

Do đó, ta đặt $a^2+b^2+c^2=x$, $ab+bc+ca=y$. Khi đó ${\left(a+b+c\right)}^2=x+2y$

Ta có 

$$\begin{gathered} M=\frac{x\left(x+2y\right)+y^2}{x+2y-y}=\frac{x^2+2xy+y^2}{x+y} \\ =\frac{{\left(x+y\right)}^2}{x+y}=x+y \\ =a^2+b^2+c^2+ac+bc+ca \end{gathered}$$