Trang chủ Đề thi & kiểm tra Lớp 8 Toán học Ôn tập Phân thức đại số có đáp án !!

Ôn tập Phân thức đại số có đáp án !!

Toán học - Lớp 8

Trắc nghiệm Toán 8 Bài 1 Liên hệ giữa thứ tự và phép cộng

Trắc nghiệm Bài 2 Liên hệ giữa thứ tự và phép nhân - Luyện tập - Toán 8

Trắc nghiệm Toán 8 Bài 1 Nhân đơn thức với đa thức

Trắc nghiệm Hình học 8 Bài 1 Tứ giác

Trắc nghiệm Toán 8 Bài 2 Nhân đa thức với đa thức

Trắc nghiệm Toán 8 Bài 3 Những hằng đẳng thức đáng nhớ

Trắc nghiệm Toán 8 Bài 4 Những hằng đẳng thức đáng nhớ (tiếp)

Trắc nghiệm Toán 8 Bài 5 Những hằng đẳng thức đáng nhớ (tiếp)

Trắc nghiệm Toán 8 Bài 6 Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung

Trắc nghiệm Toán 8 Bài 7 Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp dùng hằng đẳng thức

Trắc nghiệm Toán 8 Bài 8 Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp nhóm hạng tử

Trắc nghiệm Toán 8 Bài 9 Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách phối hợp nhiều phương pháp

Trắc nghiệm Toán 8 Bài 10 Chia đơn thức cho đơn thức

Trắc nghiệm Toán 8 Bài 11 Chia đa thức cho đơn thức

Đề thi học kì 2 môn Toán Lớp 8 - Trường THCS Phạm Công Bình năm học 2019

Trắc nghiệm Toán 8 Bài 12 Chia đa thức một biến đã sắp xếp

Trắc nghiệm Hình học 8 Bài 2 Hình thang

Trắc nghiệm Hình học 8 Bài 3 Hình thang cân

Trắc nghiệm Hình học 8 Bài 4 Đường trung bình của tam giác, của hình thang

Trắc nghiệm Hình học 8 Bài 6 Đối xứng trục

Trắc nghiệm Hình học 8 Bài 7 Hình bình hành

Trắc nghiệm Hình học 8 Bài 8 Đối xứng tâm

Trắc nghiệm Hình học 8 Bài 9 Hình chữ nhật

Trắc nghiệm Hình học 8 Bài 11 Hình thoi

Trắc nghiệm Hình học 8 Bài 12 Hình vuông

Câu 1 : Cho phân thức $M = \frac{(a^{2} + b^{2} + c^{2}) {(a + b + c)}^{2} + {(a b + b c + c a)}^{2}}{{(a + b + c)}^{2} - (a b + b c + c a)}$

Câu 2 : Chứng minh rằng với mọi số nguyên n thì phân số $\frac{n^{3} + 2 n}{n^{4} + 3 n^{2} + 1}$ là phân số tối giản.

Câu 3 : Chứng minh rằng $1 + x + x^{2} + x^{3} + ... + x^{31} = (1 + x) (1 + x^{2}) (1 + x^{4}) (1 + x^{8}) (1 + x^{16}) . (1)$

Câu 4 : Tìm giá trị của x để các phân thức sau bằng 0:

Câu 5 : Rút gọn các phân thức:

Câu 6 : Rút gọn các phân thức:

Câu 7 : Rút gọn các phân thức với n là số tự nhiên:

Câu 8 : Rút gọn các phân thức:

Câu 9 : Chứng minh rằng các phân số sau tối giản với mọi số tự nhiên n:

Câu 10 : Chứng minh rằng phân số $\frac{n^{7} + n^{2} + 1}{n^{8} + n + 1}$ không tối giản với mọi số nguyên dương n.

Câu 11 : Viết gọn biểu thức sau dưới dạng một phân thức: $A = (x^{2} - x + 1) (x^{4} - x^{2} + 1) (x^{8} - x^{4} + 1) (x^{16} - x^{8} + 1) (x^{32} - x^{16} + 1) .$

Câu 12 : Cho biết $a x + b y + c z = 0 .$

Câu 13 : Rút gọn $\frac{x^{2} + y^{2} + z^{2}}{{(y - z)}^{2} + {(z - x)}^{2} + {(x - y)}^{2}}$ , biết rằng x+y+z=0.

Câu 14 : Tính giá trị của biểu thức $A = \frac{x - y}{x + y}$ , biết $x^{2} - 2 y^{2} = x y (y \neq 0; x + y \neq 0)$

Câu 15 : Tính giá trị của phân thức $A = \frac{3 x - 2 y}{3 x + 2 y}$ , biết rằng $9 x^{2} + 4 y^{2} = 20 x y$ và $2 y < 3 x < 0$

Câu 16 : Cho 3x-y=3z và 2x+y=7z. Tính giá trị của biểu thức $M = \frac{x^{2} - 2 x y}{x^{2} + y^{2}} (x \neq 0, y \neq 0)$

Câu 17 : Tìm số nguyên x để phân thức sau có giá trị là số nguyên:

Câu 18 : Tìm số hữu tỉ x để phân thức $\frac{10}{x^{2} + 1}$ có giá trị là số nguyên

Câu 19 : Chứng minh rằng nếu các chữ số a, b, c khác 0 thỏa mãn điều kiện $\bar{a b} : \bar{b c} = a : c$ thì $\bar{a b b b} : \bar{b b b c} = a : c$

Câu 20 : Cho a+b+c=0 và a, b, c đều khác 0. Rút gọn biểu thức $A = \frac{a b}{a^{2} + b^{2} - c^{2}} + \frac{b c}{b^{2} + c^{2} - a^{2}} + \frac{c a}{c^{2} + a^{2} - b^{2}}$

Câu 21 : Rút gọn biểu thức $A = \frac{1}{1 - x} + \frac{1}{1 + x} + \frac{2}{1 + x^{2}} + \frac{4}{1 + x^{4}} + \frac{8}{1 + x^{8}}$

Câu 22 : Rút gọn biểu thức $B = \frac{3}{{(1.2)}^{2}} + \frac{5}{{(2.3)}^{2}} + ... + \frac{2 n + 1}{{[n (n + 1)]}^{2}}$

Câu 23 : Xác định các số a, b, c sao cho $\frac{1}{(x^{2} + 1) (x - 1)} = \frac{a x + b}{x^{2} + 1} + \frac{c}{x - 1} (1)$

Câu 24 : Cho $A = \frac{1}{{(x + y)}^{3}} (\frac{1}{x^{4}} - \frac{1}{y^{4}}), B = \frac{2}{{(x + y)}^{4}} (\frac{1}{x^{3}} - \frac{1}{y^{3}}), C = \frac{2}{{(x + y)}^{5}} (\frac{1}{x^{2}} - \frac{1}{y^{2}})$

Câu 25 : Thực hiện phép tính:

Câu 26 : Thực hiện phép tính:

Câu 27 : Cho 3y-x=6. Tính giá trị của biểu thức $A = \frac{x}{y - 2} + \frac{2 x - 3 y}{x - 6} .$

Câu 28 : Tìm x, y biết rằng $x^{2} + y^{2} + \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{y^{2}} = 4$

Câu 29 : Tìm x, y, z biết rằng $\frac{x^{2}}{2} + \frac{y^{2}}{3} + \frac{z^{2}}{4} = \frac{x^{2} + y^{2} + z^{2}}{5} .$

Câu 30 : Cho: $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 0 (1)$ và $\frac{a}{z} + \frac{b}{y} + \frac{c}{z} = 2 (2)$

Câu 31 : Cho biết:

Câu 32 : Chứng minh rằng các phân số sau tối giản với mọi số tự nhiên n:

Câu 33 : Cho $\frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a} = \frac{b}{a} + \frac{a}{c} + \frac{c}{b}$

Câu 34 : Rút gọn biểu thức sau với $x = \frac{a}{3 a + 2} :$

Câu 35 : Tìm các giá trị nguyên của x để phân thức sau có giá trị là số nguyên

Câu 36 : Cho biết $\frac{a + b - c}{a b} - \frac{b + c - a}{b c} - \frac{a + c - b}{a c} = 0$ . Chứng minh rằng trong ba phân thức ở vế trái, có ít nhất một phân thức bằng 0.

Câu 37 : Rút gọn biểu thức: $A = \frac{2}{a - b} + \frac{2}{b - c} + \frac{2}{c - a} + \frac{{(a - b)}^{2} + {(b - c)}^{2} + {(c - a)}^{2}}{(a - b) (b - c) (c - a)}$

Câu 38 : Xác định các số a, b, c sao cho:

Câu 39 : Rút gọn biểu thức: $B = (a b + b c + c a) (\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}) - a b c (\frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} + \frac{1}{c^{2}})$

Câu 40 : Cho a, b, c khác nhau đôi một và $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = 0$ . Rút gọn biểu thức:

Câu 41 : Cho các số a, b, c khác nhau đôi một và $\frac{a + b}{c} = \frac{b + c}{a} = \frac{c + a}{b}$ . Tính giá trị của biểu thức $M = (1 + \frac{a}{b}) (1 + \frac{b}{c}) (1 + \frac{c}{a})$

Câu 42 : Cho $a^{3} + b^{3} + c^{3} = 3 a b c$ và $a + b + c \neq 0$ . Tính giá trị của biểu thức: $N = \frac{a^{2} + b^{2} + c^{2}}{{(a + b + c)}^{2}}$

Câu 43 : Rút gọn các biểu thức:

Câu 44 : Rút gọn các biểu thức:

Câu 45 : Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên $n \geq 1$ :

Câu 46 : Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên $n \geq 2$ :

Câu 47 : Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên $n \geq 3$ :

Câu 48 : Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên $n \geq 1$ :

Câu 49 : Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên $n \geq 2$ :

Câu 50 : Rút gọn biểu thức $A = \frac{2.4}{4.6} . \frac{6.8}{8.10} . \frac{10.12}{12.14} ... \frac{42.44}{44.46}$

Câu 51 : Chứng minh rằng:

Câu 52 : Rút gọn biểu thức $P = \frac{(1^{4} + 4) (5^{4} + 4) (9^{4} + 4) ... (21^{4} + 4)}{(3^{4} + 4) (7^{4} + 4) (11^{4} + 4) ... (23^{4} + 4)}$

Câu 53 : Rút gọn biểu thức $M = \frac{1}{a^{2} - 5 a + 6} + \frac{1}{a^{2} - 7 a + 12} + \frac{1}{a^{2} - 9 a + 20} + \frac{1}{a^{2} - 11 a + 30}$

Câu 54 : Rút gọn biểu thức $(\frac{n - 1}{1} + \frac{n - 2}{2} + \frac{n - 3}{3} + ... + \frac{2}{n - 2} + \frac{1}{n - 1}) : (\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + ... + \frac{1}{n})$

Câu 55 : Rút gọn biểu thức $\frac{A}{B} = \frac{\frac{1}{1 (2 n - 1)} + \frac{1}{3 (2 n - 3)} + \frac{1}{5 (2 n - 5)} + ... + \frac{1}{(2 n - 3) .3} + \frac{1}{(2 n - 1) .1}}{1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{5} + ... + \frac{1}{2 n - 1}}$

Câu 56 : Cho abc = 1 (1) và $a + b + c = \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}$ (2)

Câu 57 : Cho hai số nguyên dương a và b trong đó a>b. Tìm số nguyên dương c khác b sao cho $\frac{a^{3} + b^{3}}{a^{3} + c^{3}} = \frac{a + b}{a + c}$

Câu 58 : Cho dãy số $a_{1}$ , $a_{2}$ , $a_{3}$ ,... sao cho: $a_{2} = \frac{a_{1} - 1}{a_{1} + 1}; a_{3} = \frac{a_{2} - 1}{a_{2} + 1}; ...; a_{n} = \frac{a_{n - 1} - 1}{a_{n - 1} + 1}$

Câu 59 : Tìm phân số $\frac{m}{n}$ khác 0 và số tự nhiên k, biết rằng $\frac{m}{n} = \frac{m + k}{n k}$

Câu 60 : Cho hai số tự nhiên a và b (a<b). Tìm tổng các phân số tối giản có mẫu bằng 7, mỗi phân số lớn hơn a nhưng nhỏ hơn b.

Câu 61 : Một số a tăng m%, sau đó lại giảm đi n% (a, m, n là các số dương) thì được số b. Tìm liên hệ giữa m và n để b>a

Câu 62 : Mức sản xuất của một xí nghiệp năm 2001 tăng a% so với năm 2000, năm 2002 tăng b% so với năm 2001. Mức sản xuất của xí nghiệp đó năm 2002 tăng so với năm 2000 là:

Câu 63 : Chứng minh rằng các tổng sau không là số nguyên:

Câu 64 : Phân tích đa thức thành nhân tử: $3 x^{2} - 8 x + 4$

Câu 65 : Phân tích đa thức thành nhân tử: $f (x) = x^{3} - x^{2} - 4$

Câu 66 : Phân tích đa thức thành nhân tử: $4 x^{2} - 4 x - 3$

Câu 67 : Phân tích đa thức thành nhân tử: $3 x^{3} - 7 x^{2} + 17 x - 5$

Câu 68 : Phân tích đa thức thành nhân tử: $4 x^{4} + 81$

Câu 69 : Phân tích đa thức thành nhân tử: $64 x^{4} + y^{4}$

Câu 70 : Phân tích đa thức thành nhân tử: $x^{5} + x - 1$

Câu 71 : Phân tích đa thức thành nhân tử: $x^{7} + x^{2} + 1$

Câu 72 : Phân tích đa thức thành nhân tử: $x (x + 4) (x + 6) (x + 10) + 128$

Câu 73 : Phân tích đa thức thành nhân tử: $A = x^{4} + 6 x^{3} + 7 x^{2} - 6 x + 1$

Câu 74 : Phân tích đa thức thành nhân tử: $x^{4} - 6 x^{3} + 12 x^{2} - 14 x + 3$

Câu 75 : Phân tích đa thức thành nhân tử: $P = x^{2} (y - x) + y^{2} (z - x) + z^{2} (x - y)$

Câu 76 : Phân tích các đa thức sau thành nhân tử

Câu 77 : Phân tích các đa thức sau thành nhân tử

Câu 78 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử $x^{3} - 7 x - 6$ (giải bằng nhiều cách)

Câu 79 : Phân tích các đa thức sau thành nhân tử

Câu 80 : Phân tích các đa thức sau thành nhân tử

Câu 81 : Phân tích các đa thức sau thành nhân tử

Câu 82 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử ${(a + b + c)}^{3} - 4 (a^{3} + b^{3} + c^{3}) - 12 a b c$ bằng cách đổi biến: đặt $a + b = m, a - b = n .$

Câu 83 : Phân tích các đa thức sau thành nhân tử

Câu 84 : Phân tích các đa thức sau thành nhân tử

Câu 85 : Phân tích các đa thức sau thành nhân tử

Câu 86 : Phân tích các đa thức sau thành nhân tử

Câu 87 : Phân tích các đa thức sau thành nhân tử

Câu 88 : Phân tích các đa thức sau thành nhân tử

Câu 89 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử dùng phương pháp xét giá trị riêng: $M = a {(b + c - a)}^{2} + b {(c + a - b)}^{2} + c {(a + b - c)}^{2} + (a + b - c) (b + c - a) (c + a - b) .$

Câu 90 : Chứng minh rằng tích của bốn số tự nhiên liên tiếp cộng thêm 1 là một số chính phương.

Câu 91 : Chứng minh rằng số $A = (n + 1)^{4} + n^{4} + 1$ chia hết cho một số chính phương khác 1 với mọi số n nguyên dương

Câu 92 : Tìm các số nguyên a, b, c sao cho khi phân tích đa thức $(x + a) (x - 4) - 7$ thành nhân tử ta được $(x + b) (x + c)$

Câu 93 : Tìm các số hữu tỉ a, b, c sao cho khi phân tích đa thức $x^{3} + a x^{2} + b x + c$ thành nhân tử ta được $(x + a) (x + b) (x + c)$

Câu 94 : Số tự nhiên n có thể nhận bao nhiêu giá trị, biết rằng khi phân tích đa thức $x^{2} + x - n$ thành nhân tử ta được $(x - a) (x + b)$ với a, b là các số tự nhiên và $1 < n < 100$

Câu 95 : Cho $A = a^{2} + b^{2} + c^{2}$ , trong đó a và b là hai số tự nhiên liên tiếp, c=ab. Chứng minh rằng $\sqrt{A}$ là một số tự nhiên lẻ

Câu 96 : Chứng minh rằng $A = n^{3} {(n^{2} - 7)}^{2} - 36 n$ chia hết cho 5040 với mọi số tư nhiên n.

Câu 97 : Chứng minh rằng với mọi số nguyên a thì $a^{2} - a$ chia hết cho 2

Câu 98 : Chứng minh rằng với mọi số nguyên a thì $a^{3} - a$ chia hết cho 3

Câu 99 : Chứng minh rằng với mọi số nguyên a thì $a^{5} - a$ chia hết cho 5

Câu 100 : Chứng minh rằng một số chính phương chia cho 3 chỉ có thể có số dư bằng 0 hoặc 1.

Câu 101 : Chứng minh rằng một số chính phương chia cho 4 chỉ có thể có số dư bằng 0 hoặc 1.

Câu 102 : Các số sau có là số chính phương không?

Câu 103 : Trong dãy sau có tồn tại số nào là số chính phương không?

Câu 104 : Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n, biểu thức $16^{n} - 1$ chia hết cho 17 khi và chỉ khi n là số chẵn.

Câu 105 : Chứng minh rằng tồn tại một bội của 2003 có dạng $\underset{m - n n h o m 2004}{\underset{⏟}{2004 ... 2004}}$

Câu 106 : Tìm số nguyên n để $n^{5} + 1$ chia hết cho $n^{3} + 1$

Câu 107 : Tìm số tự nhiên n sao cho $2^{n} - 1$ chia hết cho 7

Câu 108 : Tìm số nguyên dương n để $n^{5} + 1$ chia hết cho $n^{3} + 1$

Câu 109 : Chứng minh rằng với mọi số nguyên n, ta có: $n^{3} + 3 x^{2} + 2 n$ chia hết cho 6.

Câu 110 : Chứng minh rằng: $n^{3} + 6 n^{2} + 8 n$ chia hết cho 48 với mọi số chẵn n

Câu 111 : Chứng minh rằng với mọi số nguyên n, ta có: ${(n^{2} + n - 1)}^{2} - 1$ chia hết cho 24

Câu 112 : Chứng minh rằng: $n^{4} - 10 n^{2} + 9$ chia hết cho 384 với mọi số lẻ n

Câu 113 : Chứng minh rằng $n^{6} + n^{4} - 2 n^{2}$ chia hết cho 72 với mọi số nguyên n.

Câu 114 : Chứng minh rằng $3^{2 n} - 9$ chia hết cho 72 với mọi số nguyên dương n.

Câu 115 : Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên a và n:

Câu 116 : Tìm điều kiện của số tự nhiên a để $a^{2} + 3 a + 2$ chia hết cho 6

Câu 117 : Cho a là số nguyên tố lớn hơn 3. Chứng minh rằng $a^{2} - 1$ chia hết cho 24

Câu 118 : Tìm điều kiện của số tự nhiên a để $a^{4} - 1$ chia hết cho 240

Câu 119 : Tìm ba số nguyên tố liên tiếp a, b, c sao cho $a^{2} + b^{2} + c$ cũng là số nguyên tố.

Câu 120 : Cho bốn số nguyên dương a, b, c, d thỏa mãn $a^{2} + b^{2} = c^{2} + d^{2}$ . Chứng minh rằng a+b+c+d là hợp số.

Câu 121 : Cho bốn số nguyên dương a, b, c, d thoả mãn ab=cd. Chứng minh rằng $a^{5} + b^{5} + c^{5} + d^{5}$ là hợp số.

Câu 122 : Cho các số tự nhiên a và b. Chứng minh rằng: Nếu $a^{2} + b^{2}$ chia hết cho 3 thì a và b chia hết cho 3.

Câu 123 : Cho các số tự nhiên a và b. Chứng minh rằng: Nếu $a^{2} + b^{2}$ chia hết cho 7 thì a và b chia hết cho 7.

Câu 124 : Cho các số nguyên a, b, c thoả mãn a+b+c=0. Chứng minh rằng: $a^{3} + b^{3} + c^{3}$ chia hết cho 3abc

Câu 125 : Cho các số nguyên a, b, c. Chứng minh rằng: Nếu a+b+c chia hết cho 6 thì $a^{3} + b^{3} + c^{3}$ chia hết cho 6

Câu 126 : Cho các số nguyên a, b, c thoả mãn a+b+c=0. Chứng minh rằng: $a^{5} + b^{5} + c^{5}$ chia hết cho 5abc.

Câu 127 : Viết số $1995^{1995}$ thành tổng của nhiều số tự nhiên. Tổng các lập phương của các số tự nhiên đó chia cho 6 dư bao nhiêu?

Câu 128 : Chứng minh rằng mọi số tự nhiên đều viết được dưới dạng $b^{3} + 6 c$ trong đó b và c là các số nguyên

Câu 129 : Chứng minh rằng với mọi số nguyên a và b: $a^{3} b - a b^{3}$ chia hết cho 6

Câu 130 : Chứng minh rằng tổng các lập phương của ba số nguyên liên tiếp thì chia hết cho 9.

Câu 131 : Chứng minh rằng nếu tổng các lập phương của ba số nguyên chia hết cho 9 thì tồn tại một trong ba số đó là bội số của 3.

Câu 132 : Chứng minh rằng nếu các số tự nhiên a, b, c thoả mãn điều kiện $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ thì abc chia hết cho 60.

Câu 133 : Cho dãy số $7, 13, 25, ..., 3 n (n - 1) + 7 (n \in ℕ)$ . Chứng minh rằng:

Câu 134 : Chứng minh rằng nếu số tự nhiên a không chia hết cho 7 thì $a^{6} - 1$ chia hết cho 7.

Câu 135 : Chứng minh rằng nếu n là lập phương của một số tự nhiên thì (n-1)n(n+1) chia hết cho 504.

Câu 136 : Chứng minh rằng A chia hết cho B với:

Câu 137 : Các số sau cố là số chính phương không?

Câu 138 : Các số sau cố là số chính phương không?

Câu 139 : Có thể dùng cả năm chữ số 2, 3, 4, 5, 6 lập thành số chính phương có năm chữ số được không?

Câu 140 : Chứng minh rằng tổng của hai số chính phương lẻ không là số chính phương

Câu 141 : Chứng minh rằng mọi số lẻ đều viết được dưới dạng hiệu của hai số chính phương.

Câu 142 : Chứng mình rằng: $A = 1^{2} + 2^{2} + 3^{2} + 4^{2} + . . . + 100^{2}$ không là số chính phương

Câu 143 : Chứng mình rằng: $B = 1^{2} + 2^{2} + 3^{2} + 4^{2} + . . . + 56^{2}$ không là số chính phương

Câu 144 : Chứng mình rằng: $C = 1 + 3 + 5 + 7 + . . . + n$ là số chính phương (n lẻ)

Câu 145 : Chứng minh rằng: Một số chính phương tận cùng bằng 9 thì chữ số hàng chục là chữ số chẵn

Câu 146 : Chứng minh rằng: Một số chính phương lẻ thì chữ số hàng chục là chữ số chẵn

Câu 147 : Chứng minh rằng: Một số chính phương tận cùng bằng 6 thì chữ số hàng chục là chữ số lẻ.

Câu 148 : Chứng minh rằng: Một số chính phương tận cùng bằng 5 thì chữ số hàng chục bằng 2 và chữ số hàng trăm là chữ số chẵn.

Câu 149 : Một số chính phương có chữ số hàng chục bằng 5. Tìm chữ số hàng đơn vị.

Câu 150 : Một số chính phương có chữ số hàng chục là chữ số lẻ. Tìm chữ số hàng đơn vị.

Câu 151 : Có bao nhiêu số tự nhiên n từ 1 đến 100 mà chữ số hàng chục của $n^{2}$ là chữ số lẻ?

Câu 152 : Chứng minh rằng: Tích của hai số nguyên dương liên tiếp không là số chính phương

Câu 153 : Chứng minh rằng: Tích của ba số nguyên dương liên tiếp không là số chính phương

Câu 154 : Chứng minh rằng: Tích của bốn số nguyên dương liên tiếp không là số chính phương

Câu 155 : Cho hai số tự nhiên a và b, trong đó a=b-2.

Câu 156 : Tìm số nguyên dương n để biểu thức sau là số chính phương: $n^{2} - n + 2$

Câu 157 : Tìm số nguyên dương n để biểu thức sau là số chính phương: $n^{4} - n + 2$

Câu 158 : Tìm số nguyên dương n để biểu thức sau là số chính phương: $n^{3} - n + 2$

Câu 159 : Tìm số nguyên dương n để biểu thức sau là số chính phương: $n^{5} - n^{4} - 2$

Câu 160 : Tìm số nguyên tố p để 4p+1 là số chính phương.

Câu 161 : Chứng minh rằng nếu 2n+1 và 3n+1 (n thuộc N) đều là số chính phương thì n chia hết cho 40.

Câu 162 : Chứng minh rằng nếu n+1 và 2n+1 (n thuộc N) đều là số chính phương thì n chia hết cho 24

Câu 163 : Tìm số nguyên tố p để: $4 p^{2} + 1$ và $6 p^{2} + 1$ cũng là những số nguyên tố

Câu 164 : Tìm số nguyên tố p để: $2 p^{2} + 1$ cũng là số nguyên tố

Câu 165 : Tìm số tự nhiên n để giá trị của biểu thức là số nguyên tố: $8 n^{2} + 10 n + 3$

Câu 166 : Tìm số tự nhiên n để giá trị của biểu thức là số nguyên tố: $12 n^{2} - 5 n - 25$

Câu 167 : Chứng minh rằng với mọi số nguyên n: $n^{2} + 7 n + 22$ không chia hết cho 9

Câu 168 : Tìm số tự nhiên n để giá trị của biểu thức là số nguyên tố: $\frac{n^{2} + 3 n}{4}$

Câu 169 : Các số tự nhiên n và $n^{2}$ có tổng các chữ số bằng nhau. Tìm số dư của n khi chia cho 9.

Câu 170 : Cho chín số tự nhiên từ 1 đến 9 xếp theo thứ tự tuỳ ý. Lấy số thứ nhất trừ 1, lấy số thứ hai trừ 2, lấy số thứ ba trừ 3,..., lấy số thứ chín trừ 9. Chứng minh rằng tích của chín số mới lặp được là một số chẵn.

Câu 171 : Tìm số nguyên n sao cho: $n^{2} + 2 n - 4$ chia hết cho 11

Câu 172 : Tìm số nguyên n sao cho: $2 n^{3} + n^{2} + 7 n + 1$ chia hết cho 2n-1

Câu 173 : Tìm số nguyên n sao cho: $n^{3} - 3 n^{2} - 3 n - 1$ chia hết cho $n^{2} + n + 1$

Câu 174 : Tìm số nguyên n sao cho: $n^{3} - 2$ chia hết cho n-2

Câu 175 : Tìm số nguyên n sao cho: $n^{4} - 2 n^{3} + 2 n^{2} - 2 n + 1$ chia hết cho $n^{4} - 1$

Câu 176 : Tìm số nguyên n sao cho: $n^{3} - n^{2} + 2 n + 7$ chia hết cho $n^{2} + 1$

Câu 177 : Đố vui: Năm sinh của hai bạn

Câu 178 : Tìm số nguyên dương n để $2^{n}$ là số nằm giữa hai số nguyên tố sinh đôi (hai số nguyên tố gọi là sinh đôi nếu chúng hơn kém nhau 2 đơn vị).

Câu 179 : Cho các số nguyên a, b, c, d, e, g thoả mãn $a^{2} + b^{2} + c^{2} + d^{2} + e^{2} = g^{2}$ . Chứng minh rằng tích abcdeg là số chẵn.

Câu 180 : Chứng minh rằng với mọi số nguyên a, b, c, d, tích $(a - b) (a - c) (a - d) (b - c) (b - d) (c - d)$ chia hết cho 12.

Câu 181 : Chứng minh rằng có thể có đến 33 số nguyên dương khác nhau, không quá 50, trong đó không tồn tại hai số nào mà một số gấp đôi số còn lại.

Câu 182 : Chứng minh rằng tồn tại vô số bội của 2003 mà trong biểu diễn thập phân của chúng không có các chữ số 0, 1, 2, 3.

Câu 183 : Chứng minh rằng tồn tại số tự nhiên k sao cho $2003^{k} - 1$ chia hết cho 51

Câu 184 : Chứng minh rằng $2^{51} - 1$ chia hết cho 7

Câu 185 : Chứng minh rằng $2^{70} + 3^{70}$ chia hết cho 13

Câu 186 : Chứng minh rằng $17^{19} + 19^{17}$ chia hết cho 18

Câu 187 : Chứng minh rằng $36^{63} - 1$ chia hết cho 7, nhưng không chia hết cho 37.

Câu 188 : Chứng minh rằng số sau là hợp số: $4^{20} - 1$

Câu 189 : Chứng minh rằng số sau là hợp số: 1 000 001

Câu 190 : Chứng minh rằng số sau là hợp số: $2^{50} + 1.$

Câu 191 : Chứng minh rằng biểu thức $A = 31^{n} - 15^{n} - 24^{n} + 8^{n}$ chia hết cho 112 với mọi số tự nhiên n.

Câu 192 : Chứng minh rằng $1.4 + 2 . 4^{2} + 3 . 4^{3} + 4 . 4^{4} + 5 . 4^{5} + 6 . 4^{6}$ chia hết cho 3

Câu 193 : Tìm số tự nhiên n để $3^{n} - 1$ chia hết cho 8

Câu 194 : Tìm số tự nhiên n để $3^{2 n + 3} + 2^{4 n + 1}$ chia hết cho 25

Câu 195 : Tìm số tự nhiên n để $5^{n} - 2^{n}$ chia hết cho 9

Câu 196 : Tìm số tự nhiên n để $1^{n} + 2^{n} + 3^{n} + 4^{n}$ chia hết cho 5

Câu 197 : Tìm số dư khi chia $22^{22} + 55^{55}$ cho 7

Câu 198 : Tìm số dư khi chia $2^{1994}$ cho 7

Câu 199 : Tìm số dư khi chia $3^{1993}$ cho 7

Câu 200 : Tìm số dư khi chia $3^{1998} + 5^{1998}$ cho 13

Câu 201 : Tìm số dư khi chia $1992^{1993} + 1994^{1995}$ cho 7

Câu 202 : Tìm số dư khi chia $9^{10^{11}} - 5^{9^{10}}$ cho 13

Câu 203 : Tìm số dư khi chia các số sau cho 7:

Câu 204 : Chứng minh rằng số $A = 2^{2^{2 n + 1}} + 3$ là hợp số với mọi số nguyên dương n.

Câu 205 : Cho $a b = 455^{12}$ . Tìm số dư trong phép chia a+b cho 4

Câu 206 : Tìm số dư khi chia ${(n^{3} - 1)}^{111} . {(n^{2} - 1)}^{333}$ cho n (n thuộc N)

Câu 207 : Tìm hai chữ số tận cùng của: $3^{999}$

Câu 208 : Tìm ba chữ số tận cùng của $3^{100}$

Câu 209 : Thay các dấu * bởi các chữ số thích hợp: $89^{6} = 496 9 * * 290 961.$

Câu 210 : Chứng minh rằng số dư khi chia đa thức f(x) cho nhị thức x-a bằng giá trị của đa thức f(x) tại x=a

Câu 211 : Chứng minh rằng nếu đa thức f(x) có tổng các hệ số bằng 0 thì đa thức ấy chia hết cho x-1?

Câu 212 : Chứng mình rằng nêu đa thức f(x) có tổng các hệ số của các hạng tử bậc chẵn bằng tổng các hệ sô của các hạng tử bậc lẻ thì đa thức ấy chia hết cho x+1.

Câu 213 : Tìm dư khi chia $x^{7} + x^{5} + x^{3} + 1$ cho $x^{2} - 1$

Câu 214 : Chia các đa thức: $(x^{3} - 5 x^{2} + 8 x - 4) : (x - 2)$

Câu 215 : Chia các đa thức: $(x^{3} - 9 x^{2} + 6 x + 10) : (x + 1);$

Câu 216 : Chia các đa thức: $(x^{3} - 7 x + 6) : (x + 3)$

Câu 217 : Tính giá trị của đa thức $f (x) = x + 3 x - 4$ tại $x = 37$

Câu 218 : Chứng minh rằng $x^{8 n} + x^{4 n} + 1$ chia hết cho $x^{2 n} + x^{n} + 1$ với mọi số tự nhiên n.

Câu 219 : Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên m, n thì $x^{6 m + 4} + x^{6 n + 2} + 1$ chia hết cho $x^{2} - x + 1$

Câu 220 : Cho $f (x) = {(x^{2} + x - l)}^{10} + {(x^{2} - x + 1)}^{10} - 2$ . Chứng minh rằng f(x) chia hết cho $x^{2} - x$

Câu 221 : Không đặt tính chia đa thức, hãy xét xem đa thức $x^{3} - 9 x^{2} + 6 x + 16$ có hay không chia hết cho

Câu 222 : Tìm dư khi chia các đa thức sau

Câu 223 : Tìm dư khi chia $x + x^{3} + x^{9} + x^{27}$ cho

Câu 224 : Tìm dư khi chia $x^{99} + x^{55} + x^{11} + x + 7$ cho $x + 1$

Câu 225 : Tìm dư khi chia $x^{99} + x^{55} + x^{11} + x + 7$ cho $x^{2} + 1$

Câu 226 : Tìm dư khi chia đa thức $f (x) = x^{50} + x^{49} + ... + x^{2} + x + 1$ cho $x^{2} - 1$

Câu 227 : Tìm đa thức f(x), biết rằng f(x) chia cho x-3 thì dư 7, f(x) chia cho x-2 thì dư 5, f(x) chia cho (x-2)(x-3) thì được thương là 3x và còn dư.

Câu 228 : Tìm đa thức f(x), biết rằng f(x) chia cho x-3 thì dư 2, f(x) chia cho x+4 thì dư 9, còn f(x) chia cho $x^{2} + x - 12$ thì được thương $x^{2} + 3$ và còn dư.

Câu 229 : Khi chia đơn thức $x^{8}$ cho $x + \frac{1}{2}$ , ta được thương là B(x) và dư là số $r_{1}$ . Khi chia B(x) cho $x + \frac{1}{2}$ ta được thương là C(x) và dư là số $r_{2}$ . Tính $r_{2}$

Câu 230 : Chứng minh rằng:

Câu 231 : Chứng minh rằng f(x) chia hết cho g(x) với:

Câu 232 : Chứng minh rằng đa thức $(x + y)^{6} + (x - y)^{6}$ chia hết cho đa thức $x^{2} + y^{2}$

Câu 233 : Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n:

Câu 234 : Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì $(x^{n} - 1) (x^{n + 1} - 1)$ chia hết cho $(x + 1) {(x - 1)}^{2}$

Câu 235 : Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên m, n thì $x^{6 m + 4} + x^{6 n + 2} + 1$ chia hết cho $x^{2} - x + 1$

Câu 236 : Tìm số tự nhiên n sao cho $x^{2 n} + x^{n} + 1$ chia hết cho $x^{2} + x + 1$

Câu 237 : Xác định số k để đa thức $A = x^{3} + y^{3} + z^{3} + k x y z$ chia hết cho đa thức x+y+z

Câu 238 : Cho đa thức f(x) có các hệ số nguyên. Biết rằng f(0), f(1) là các số lẻ. Chứng minh rằng đa thức f(x) không có nghiệm nguyên.

Lời giải có ở chi tiết câu hỏi nhé! (click chuột vào câu hỏi).

Lớp 8

Toán học

Toán học - Lớp 8

Tiểu học Lớp 6 Lớp 7 Lớp 8 Lớp 9 Lớp 10 Lớp 11 Lớp 12 Hóa học Tài liệu Đề thi & kiểm tra Câu hỏi hoctapsgk.com Nghe truyện audio Đọc truyện chữ Công thức nấu ăn

Ôn tập Phân thức đại số có đáp án !!

Câu 1 : Cho phân thức M=a2+b2+c2a+b+c2+ab+bc+ca2a+b+c2−ab+bc+ca

Câu 2 : Chứng minh rằng với mọi số nguyên n thì phân số n3+2nn4+3n2+1 là phân số tối giản.

Câu 3 : Chứng minh rằng 1 +x+x2+x3+...+x31=1+x1+x21+x41+x81+x16. 1

Câu 4 : Tìm giá trị của x để các phân thức sau bằng 0:

Câu 5 : Rút gọn các phân thức:

Câu 6 : Rút gọn các phân thức:

Câu 7 : Rút gọn các phân thức với n là số tự nhiên:

Câu 8 : Rút gọn các phân thức:

Câu 9 : Chứng minh rằng các phân số sau tối giản với mọi số tự nhiên n:

Câu 10 : Chứng minh rằng phân số n7+n2+1n8+n+1 không tối giản với mọi số nguyên dương n.

Câu 11 : Viết gọn biểu thức sau dưới dạng một phân thức: A=x2−x+1x4−x2+1x8−x4+1x16−x8+1x32−x16+1.

Câu 12 : Cho biết ax+by+cz=0.

Câu 13 : Rút gọn x2+y2+z2y−z2+z−x2+x−y2, biết rằng x+y+z=0.

Câu 14 : Tính giá trị của biểu thức A=x−yx+y, biết x2−2y2=xyy≠0; x+y≠0

Câu 15 : Tính giá trị của phân thức A=3x−2y3x+2y, biết rằng 9x2+4y2=20xy và 2y<3x<0

Câu 16 : Cho 3x-y=3z và 2x+y=7z. Tính giá trị của biểu thức M=x2−2xyx2+y2x≠0,y≠0

Câu 17 : Tìm số nguyên x để phân thức sau có giá trị là số nguyên:

Câu 18 : Tìm số hữu tỉ x để phân thức 10x2+1 có giá trị là số nguyên

Câu 19 : Chứng minh rằng nếu các chữ số a, b, c khác 0 thỏa mãn điều kiện ab¯:bc¯=a:c thì abbb¯:bbbc¯=a:c

Câu 20 : Cho a+b+c=0 và a, b, c đều khác 0. Rút gọn biểu thức A=aba2+b2−c2+bcb2+c2−a2+cac2+a2−b2

Câu 21 : Rút gọn biểu thức A=11−x+11+x+21+x2+41+x4+81+x8

Câu 22 : Rút gọn biểu thức B=31.22+52.32+...+2n+1nn+12

Câu 23 : Xác định các số a, b, c sao cho 1x2+1x−1=ax+bx2+1+cx−1 1

Câu 24 : Cho A=1x+y31x4−1y4, B=2x+y41x3−1y3, C=2x+y51x2−1y2

Câu 25 : Thực hiện phép tính:

Câu 26 : Thực hiện phép tính:

Câu 27 : Cho 3y-x=6. Tính giá trị của biểu thức A=xy−2+2x−3yx−6.

Câu 28 : Tìm x, y biết rằng x2+y2+1x2+1y2=4

Câu 29 : Tìm x, y, z biết rằng x22+y23+z24=x2+y2+z25.

Câu 30 : Cho: xa+yb+zc=0 1 và az+by+cz=2 2

Câu 31 : Cho biết:

Câu 32 : Chứng minh rằng các phân số sau tối giản với mọi số tự nhiên n:

Câu 33 : Cho ab+bc+ca=ba+ac+cb

Câu 34 : Rút gọn biểu thức sau với x=a3a+2:

Câu 35 : Tìm các giá trị nguyên của x để phân thức sau có giá trị là số nguyên

Câu 36 : Cho biết a+b−cab−b+c−abc−a+c−bac=0. Chứng minh rằng trong ba phân thức ở vế trái, có ít nhất một phân thức bằng 0.

Câu 37 : Rút gọn biểu thức: A=2a−b+2b−c+2c−a+a−b2+b−c2+c−a2a−bb−cc−a

Câu 38 : Xác định các số a, b, c sao cho:

Câu 39 : Rút gọn biểu thức: B=ab+bc+ca1a+1b+1c−abc1a2+1b2+1c2

Câu 40 : Cho a, b, c khác nhau đôi một và 1a+1b+1c=0. Rút gọn biểu thức:

Câu 41 : Cho các số a, b, c khác nhau đôi một và a+bc=b+ca=c+ab. Tính giá trị của biểu thức M=1+ab1+bc1+ca

Câu 42 : Cho a3+b3+c3=3abc và a+b+c≠0. Tính giá trị của biểu thức: N=a2+b2+c2a+b+c2

Câu 43 : Rút gọn các biểu thức:

Câu 44 : Rút gọn các biểu thức:

Câu 45 : Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n≥1:

Câu 46 : Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n≥2:

Câu 47 : Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n≥3:

Câu 48 : Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n≥1:

Câu 49 : Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n≥2:

Câu 50 : Rút gọn biểu thức A=2.44.6.6.88.10.10.1212.14...42.4444.46

Câu 51 : Chứng minh rằng:

Câu 52 : Rút gọn biểu thức P=14+454+494+4 ... 214+434+474+4114+4 ... 234+4

Câu 53 : Rút gọn biểu thức M=1a2−5a+6+1a2−7a+12+1a2−9a+20+1a2−11a+30

Câu 54 : Rút gọn biểu thức n−11+n−22+n−33+...+2n−2+1n−1:12+13+14+...+1n

Câu 55 : Rút gọn biểu thức AB=112n−1+132n−3+152n−5+...+12n−3.3+12n−1.11+13+15+...+12n−1

Câu 56 : Cho abc = 1 (1) và a+b+c=1a+1b+1c (2)

Câu 57 : Cho hai số nguyên dương a và b trong đó a>b. Tìm số nguyên dương c khác b sao cho a3+b3a3+c3=a+ba+c

Câu 58 : Cho dãy số a1, a2, a3,... sao cho: a2=a1−1a1+1;a3=a2−1a2+1; ... ;an=an−1−1an−1+1

Câu 59 : Tìm phân số mn khác 0 và số tự nhiên k, biết rằng mn=m+knk

Câu 60 : Cho hai số tự nhiên a và b (a<b). Tìm tổng các phân số tối giản có mẫu bằng 7, mỗi phân số lớn hơn a nhưng nhỏ hơn b.

Câu 61 : Một số a tăng m%, sau đó lại giảm đi n% (a, m, n là các số dương) thì được số b. Tìm liên hệ giữa m và n để b>a

Câu 62 : Mức sản xuất của một xí nghiệp năm 2001 tăng a% so với năm 2000, năm 2002 tăng b% so với năm 2001. Mức sản xuất của xí nghiệp đó năm 2002 tăng so với năm 2000 là:

Câu 63 : Chứng minh rằng các tổng sau không là số nguyên:

Câu 64 : Phân tích đa thức thành nhân tử: 3x2-8x+4

Câu 65 : Phân tích đa thức thành nhân tử: f(x)=x3-x2-4

Câu 66 : Phân tích đa thức thành nhân tử: 4x2-4x-3

Câu 67 : Phân tích đa thức thành nhân tử: 3x3-7x2+17x-5

Câu 68 : Phân tích đa thức thành nhân tử: 4x4+81

Câu 69 : Phân tích đa thức thành nhân tử: 64x4+y4

Câu 70 : Phân tích đa thức thành nhân tử: x5+x-1

Câu 71 : Phân tích đa thức thành nhân tử: x7+x2+1

Câu 72 : Phân tích đa thức thành nhân tử: x(x+4)(x+6)(x+10)+128

Câu 73 : Phân tích đa thức thành nhân tử: A=x4+6x3+7x2-6x+1

Câu 74 : Phân tích đa thức thành nhân tử: x4-6x3+12x2-14x+3

Câu 75 : Phân tích đa thức thành nhân tử: P=x2(y-x)+y2(z-x)+z2(x-y)

Câu 76 : Phân tích các đa thức sau thành nhân tử

Câu 77 : Phân tích các đa thức sau thành nhân tử

Câu 78 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử x3-7x-6 (giải bằng nhiều cách)

Câu 79 : Phân tích các đa thức sau thành nhân tử

Câu 1 : Cho phân thức $M = \frac{(a^{2} + b^{2} + c^{2}) {(a + b + c)}^{2} + {(a b + b c + c a)}^{2}}{{(a + b + c)}^{2} - (a b + b c + c a)}$

Câu 2 : Chứng minh rằng với mọi số nguyên n thì phân số $\frac{n^{3} + 2 n}{n^{4} + 3 n^{2} + 1}$ là phân số tối giản.

Câu 3 : Chứng minh rằng $1 + x + x^{2} + x^{3} + ... + x^{31} = (1 + x) (1 + x^{2}) (1 + x^{4}) (1 + x^{8}) (1 + x^{16}) . (1)$

Câu 10 : Chứng minh rằng phân số $\frac{n^{7} + n^{2} + 1}{n^{8} + n + 1}$ không tối giản với mọi số nguyên dương n.

Câu 11 : Viết gọn biểu thức sau dưới dạng một phân thức: $A = (x^{2} - x + 1) (x^{4} - x^{2} + 1) (x^{8} - x^{4} + 1) (x^{16} - x^{8} + 1) (x^{32} - x^{16} + 1) .$

Câu 12 : Cho biết $a x + b y + c z = 0 .$

Câu 13 : Rút gọn $\frac{x^{2} + y^{2} + z^{2}}{{(y - z)}^{2} + {(z - x)}^{2} + {(x - y)}^{2}}$ , biết rằng x+y+z=0.

Câu 14 : Tính giá trị của biểu thức $A = \frac{x - y}{x + y}$ , biết $x^{2} - 2 y^{2} = x y (y \neq 0; x + y \neq 0)$

Câu 15 : Tính giá trị của phân thức $A = \frac{3 x - 2 y}{3 x + 2 y}$ , biết rằng $9 x^{2} + 4 y^{2} = 20 x y$ và $2 y < 3 x < 0$

Câu 16 : Cho 3x-y=3z và 2x+y=7z. Tính giá trị của biểu thức $M = \frac{x^{2} - 2 x y}{x^{2} + y^{2}} (x \neq 0, y \neq 0)$

Câu 18 : Tìm số hữu tỉ x để phân thức $\frac{10}{x^{2} + 1}$ có giá trị là số nguyên

Câu 19 : Chứng minh rằng nếu các chữ số a, b, c khác 0 thỏa mãn điều kiện $\bar{a b} : \bar{b c} = a : c$ thì $\bar{a b b b} : \bar{b b b c} = a : c$

Câu 20 : Cho a+b+c=0 và a, b, c đều khác 0. Rút gọn biểu thức $A = \frac{a b}{a^{2} + b^{2} - c^{2}} + \frac{b c}{b^{2} + c^{2} - a^{2}} + \frac{c a}{c^{2} + a^{2} - b^{2}}$

Câu 21 : Rút gọn biểu thức $A = \frac{1}{1 - x} + \frac{1}{1 + x} + \frac{2}{1 + x^{2}} + \frac{4}{1 + x^{4}} + \frac{8}{1 + x^{8}}$

Câu 22 : Rút gọn biểu thức $B = \frac{3}{{(1.2)}^{2}} + \frac{5}{{(2.3)}^{2}} + ... + \frac{2 n + 1}{{[n (n + 1)]}^{2}}$

Câu 23 : Xác định các số a, b, c sao cho $\frac{1}{(x^{2} + 1) (x - 1)} = \frac{a x + b}{x^{2} + 1} + \frac{c}{x - 1} (1)$

Câu 24 : Cho $A = \frac{1}{{(x + y)}^{3}} (\frac{1}{x^{4}} - \frac{1}{y^{4}}), B = \frac{2}{{(x + y)}^{4}} (\frac{1}{x^{3}} - \frac{1}{y^{3}}), C = \frac{2}{{(x + y)}^{5}} (\frac{1}{x^{2}} - \frac{1}{y^{2}})$

Câu 27 : Cho 3y-x=6. Tính giá trị của biểu thức $A = \frac{x}{y - 2} + \frac{2 x - 3 y}{x - 6} .$

Câu 28 : Tìm x, y biết rằng $x^{2} + y^{2} + \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{y^{2}} = 4$

Câu 29 : Tìm x, y, z biết rằng $\frac{x^{2}}{2} + \frac{y^{2}}{3} + \frac{z^{2}}{4} = \frac{x^{2} + y^{2} + z^{2}}{5} .$

Câu 30 : Cho: $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 0 (1)$ và $\frac{a}{z} + \frac{b}{y} + \frac{c}{z} = 2 (2)$

Câu 33 : Cho $\frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a} = \frac{b}{a} + \frac{a}{c} + \frac{c}{b}$

Câu 34 : Rút gọn biểu thức sau với $x = \frac{a}{3 a + 2} :$

Câu 36 : Cho biết $\frac{a + b - c}{a b} - \frac{b + c - a}{b c} - \frac{a + c - b}{a c} = 0$ . Chứng minh rằng trong ba phân thức ở vế trái, có ít nhất một phân thức bằng 0.

Câu 37 : Rút gọn biểu thức: $A = \frac{2}{a - b} + \frac{2}{b - c} + \frac{2}{c - a} + \frac{{(a - b)}^{2} + {(b - c)}^{2} + {(c - a)}^{2}}{(a - b) (b - c) (c - a)}$

Câu 39 : Rút gọn biểu thức: $B = (a b + b c + c a) (\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}) - a b c (\frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} + \frac{1}{c^{2}})$

Câu 40 : Cho a, b, c khác nhau đôi một và $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = 0$ . Rút gọn biểu thức:

Câu 41 : Cho các số a, b, c khác nhau đôi một và $\frac{a + b}{c} = \frac{b + c}{a} = \frac{c + a}{b}$ . Tính giá trị của biểu thức $M = (1 + \frac{a}{b}) (1 + \frac{b}{c}) (1 + \frac{c}{a})$

Câu 42 : Cho $a^{3} + b^{3} + c^{3} = 3 a b c$ và $a + b + c \neq 0$ . Tính giá trị của biểu thức: $N = \frac{a^{2} + b^{2} + c^{2}}{{(a + b + c)}^{2}}$

Câu 45 : Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên $n \geq 1$ :

Câu 46 : Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên $n \geq 2$ :

Câu 47 : Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên $n \geq 3$ :

Câu 48 : Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên $n \geq 1$ :

Câu 49 : Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên $n \geq 2$ :

Câu 50 : Rút gọn biểu thức $A = \frac{2.4}{4.6} . \frac{6.8}{8.10} . \frac{10.12}{12.14} ... \frac{42.44}{44.46}$

Câu 52 : Rút gọn biểu thức $P = \frac{(1^{4} + 4) (5^{4} + 4) (9^{4} + 4) ... (21^{4} + 4)}{(3^{4} + 4) (7^{4} + 4) (11^{4} + 4) ... (23^{4} + 4)}$

Câu 53 : Rút gọn biểu thức $M = \frac{1}{a^{2} - 5 a + 6} + \frac{1}{a^{2} - 7 a + 12} + \frac{1}{a^{2} - 9 a + 20} + \frac{1}{a^{2} - 11 a + 30}$

Câu 54 : Rút gọn biểu thức $(\frac{n - 1}{1} + \frac{n - 2}{2} + \frac{n - 3}{3} + ... + \frac{2}{n - 2} + \frac{1}{n - 1}) : (\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + ... + \frac{1}{n})$

Câu 55 : Rút gọn biểu thức $\frac{A}{B} = \frac{\frac{1}{1 (2 n - 1)} + \frac{1}{3 (2 n - 3)} + \frac{1}{5 (2 n - 5)} + ... + \frac{1}{(2 n - 3) .3} + \frac{1}{(2 n - 1) .1}}{1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{5} + ... + \frac{1}{2 n - 1}}$

Câu 56 : Cho abc = 1 (1) và $a + b + c = \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}$ (2)

Câu 57 : Cho hai số nguyên dương a và b trong đó a>b. Tìm số nguyên dương c khác b sao cho $\frac{a^{3} + b^{3}}{a^{3} + c^{3}} = \frac{a + b}{a + c}$

Câu 58 : Cho dãy số $a_{1}$ , $a_{2}$ , $a_{3}$ ,... sao cho: $a_{2} = \frac{a_{1} - 1}{a_{1} + 1}; a_{3} = \frac{a_{2} - 1}{a_{2} + 1}; ...; a_{n} = \frac{a_{n - 1} - 1}{a_{n - 1} + 1}$

Câu 59 : Tìm phân số $\frac{m}{n}$ khác 0 và số tự nhiên k, biết rằng $\frac{m}{n} = \frac{m + k}{n k}$

Câu 64 : Phân tích đa thức thành nhân tử: $3 x^{2} - 8 x + 4$

Câu 65 : Phân tích đa thức thành nhân tử: $f (x) = x^{3} - x^{2} - 4$

Câu 66 : Phân tích đa thức thành nhân tử: $4 x^{2} - 4 x - 3$

Câu 67 : Phân tích đa thức thành nhân tử: $3 x^{3} - 7 x^{2} + 17 x - 5$

Câu 68 : Phân tích đa thức thành nhân tử: $4 x^{4} + 81$

Câu 69 : Phân tích đa thức thành nhân tử: $64 x^{4} + y^{4}$

Câu 70 : Phân tích đa thức thành nhân tử: $x^{5} + x - 1$

Câu 71 : Phân tích đa thức thành nhân tử: $x^{7} + x^{2} + 1$

Câu 72 : Phân tích đa thức thành nhân tử: $x (x + 4) (x + 6) (x + 10) + 128$

Câu 73 : Phân tích đa thức thành nhân tử: $A = x^{4} + 6 x^{3} + 7 x^{2} - 6 x + 1$

Câu 74 : Phân tích đa thức thành nhân tử: $x^{4} - 6 x^{3} + 12 x^{2} - 14 x + 3$

Câu 75 : Phân tích đa thức thành nhân tử: $P = x^{2} (y - x) + y^{2} (z - x) + z^{2} (x - y)$

Câu 78 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử $x^{3} - 7 x - 6$ (giải bằng nhiều cách)

Câu 82 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử ${(a + b + c)}^{3} - 4 (a^{3} + b^{3} + c^{3}) - 12 a b c$ bằng cách đổi biến: đặt $a + b = m, a - b = n .$

Câu 89 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử dùng phương pháp xét giá trị riêng: $M = a {(b + c - a)}^{2} + b {(c + a - b)}^{2} + c {(a + b - c)}^{2} + (a + b - c) (b + c - a) (c + a - b) .$

Câu 91 : Chứng minh rằng số $A = (n + 1)^{4} + n^{4} + 1$ chia hết cho một số chính phương khác 1 với mọi số n nguyên dương

Câu 92 : Tìm các số nguyên a, b, c sao cho khi phân tích đa thức $(x + a) (x - 4) - 7$ thành nhân tử ta được $(x + b) (x + c)$

Câu 93 : Tìm các số hữu tỉ a, b, c sao cho khi phân tích đa thức $x^{3} + a x^{2} + b x + c$ thành nhân tử ta được $(x + a) (x + b) (x + c)$

Câu 94 : Số tự nhiên n có thể nhận bao nhiêu giá trị, biết rằng khi phân tích đa thức $x^{2} + x - n$ thành nhân tử ta được $(x - a) (x + b)$ với a, b là các số tự nhiên và $1 < n < 100$

Câu 95 : Cho $A = a^{2} + b^{2} + c^{2}$ , trong đó a và b là hai số tự nhiên liên tiếp, c=ab. Chứng minh rằng $\sqrt{A}$ là một số tự nhiên lẻ

Câu 96 : Chứng minh rằng $A = n^{3} {(n^{2} - 7)}^{2} - 36 n$ chia hết cho 5040 với mọi số tư nhiên n.

Câu 97 : Chứng minh rằng với mọi số nguyên a thì $a^{2} - a$ chia hết cho 2

Câu 98 : Chứng minh rằng với mọi số nguyên a thì $a^{3} - a$ chia hết cho 3

Câu 99 : Chứng minh rằng với mọi số nguyên a thì $a^{5} - a$ chia hết cho 5

Câu 104 : Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n, biểu thức $16^{n} - 1$ chia hết cho 17 khi và chỉ khi n là số chẵn.

Câu 105 : Chứng minh rằng tồn tại một bội của 2003 có dạng $\underset{m - n n h o m 2004}{\underset{⏟}{2004 ... 2004}}$

Câu 106 : Tìm số nguyên n để $n^{5} + 1$ chia hết cho $n^{3} + 1$

Câu 107 : Tìm số tự nhiên n sao cho $2^{n} - 1$ chia hết cho 7

Câu 108 : Tìm số nguyên dương n để $n^{5} + 1$ chia hết cho $n^{3} + 1$

Câu 109 : Chứng minh rằng với mọi số nguyên n, ta có: $n^{3} + 3 x^{2} + 2 n$ chia hết cho 6.

Câu 110 : Chứng minh rằng: $n^{3} + 6 n^{2} + 8 n$ chia hết cho 48 với mọi số chẵn n

Câu 111 : Chứng minh rằng với mọi số nguyên n, ta có: ${(n^{2} + n - 1)}^{2} - 1$ chia hết cho 24

Câu 112 : Chứng minh rằng: $n^{4} - 10 n^{2} + 9$ chia hết cho 384 với mọi số lẻ n

Câu 113 : Chứng minh rằng $n^{6} + n^{4} - 2 n^{2}$ chia hết cho 72 với mọi số nguyên n.

Câu 114 : Chứng minh rằng $3^{2 n} - 9$ chia hết cho 72 với mọi số nguyên dương n.

Câu 116 : Tìm điều kiện của số tự nhiên a để $a^{2} + 3 a + 2$ chia hết cho 6

Câu 117 : Cho a là số nguyên tố lớn hơn 3. Chứng minh rằng $a^{2} - 1$ chia hết cho 24