Xác định các số a, b, c sao cho 1/(x^2 +1)(x-1) = ax+b/x^2 +1

* Hướng dẫn giải

Thực hiện phép cộng ở vế phải của (1)

$\frac{\left(ax+b\right)\left(x-1\right)+c\left(x^2+1\right)}{\left(x^2+1\right)\left(x-1\right)}=\frac{a{x}^2-ax+bx-b+c{x}^2+c}{\left(x^2+1\right)\left(x-1\right)}$$=\frac{\left(a+c\right)x^2+\left(b-a\right)x+\left(c-b\right)}{\left(x^2+1\right)\left(x-1\right)}$

Đồng nhất phân thức trên với phân thức $\frac{1}{\left(x^2+1\right)\left(x-1\right)}$, ta được

$\left\{\begin{array}{l}a+c=0\\ b-a=0\\ c-b=1\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}c+b=0\\ c-b=1\end{array}\right.\Rightarrow c=\frac{1}{2};b=-\frac{1}{2}.$

Do đó $a=-\frac{1}{2}$

Như vậy $\frac{1}{\left(x^2+1\right)\left(x-1\right)}=\frac{-\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}}{x^2+1}+\frac{\frac{1}{2}}{x-1}$