Chứng minh rằng A = n^3 (n^2 -7)^2 -36n chia hết cho 5040

* Hướng dẫn giải

Phân tích ra thừa số $5040=2^4{.3}^2\mathrm{.5.7}$

Phân tích $A=n\left[n^2{\left(n^2-7\right)}^2-36\right]=n\left[{\left(n^3-7n\right)}^2-6^2\right]$$=n\left(n^3-7n-6\right)\left(n^3-7n+6\right).$

Ta lại có $n^3-7n-6=\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n-3\right)$,

$n^3-7n+6=\left(n-1\right)\left(n-2\right)\left(n+3\right)$

Do đó $A=\left(n-3\right)\left(n-2\right)\left(n-1\right)n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right).$

Đây là tích của bảy số nguyên liên tiếp. Trong bảy số nguyên liên tiếp:

– Tồn tại một bội số của 5 (nên A chia hết cho 5);

– Tồn tại một bội số của 7 (nên A chia hết cho 7);

– Tồn tại hai bội số của 3 (nên A chia hết cho 9);

– Tồn tại ba bội số của 2, trong đó có một bội số của 4 (nên A chia hết cho 16).

A chia hết cho các số 5, 7, 9, 16 đôi một nguyên tố cùng nhau nên A chia hết cho $\mathrm{5.7.9.16}=5040.$