Bài 49 trang 93 SGK Toán 8 tập 1

Đề bài

Cho hình bình hành ABCD. Gọi I, K theo thứ tự là trung điểm của CD, AB. Đường chéo BD cắt AI, CK theo thứ tự ở M và N. Chứng minh rằng:

a) AI // CK

b) DM = MN = NB

Hướng dẫn giải

Áp dụng:

+) Tính chất hình bình hành.

+) Dấu hiệu nhận biết hình bình hành: Tứ giác có hai cạnh đối song song và bằng nhau là hình bình hành.

+) Định lí: Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh của tam giác và song song với cạnh thứ hai thì đi qua trung điểm của cạnh thứ ba

Lời giải chi tiết

a) Vì ABCD là hình bình hành (gt)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
AB = C{\rm{D}}\\
AB//C{\rm{D}}
\end{array} \right.\)

(tính chất hình bình hành)

Mà I, K theo thứ tự là trung điểm của CD, AB (gt)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
AK = \frac{{AB}}{2}\\
IC = \frac{{DC}}{2}
\end{array} \right.\)

(tính chất trung điểm)

\( \Rightarrow AK = IC, DI = IC \)

Lại có: \(AB//DC\left( {cmt} \right) \Rightarrow AK//IC\) 

Tứ giác AICK có:

\(\left\{ \begin{array}{l}
AK//IC{\rm{ }}\\
{\rm{ }}AK = IC
\end{array} \right.\left( {cmt} \right)\)

\(\Rightarrow\) Tứ giác AICK là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết hình bình hành)

\(\Rightarrow AI // CK\) (tính chất hình bình hành)

b) ∆DCN có DI = IC (cmt), IM // CN (vì AI // KC)

\(\Rightarrow\)  DM = MN   (1) (Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh của tam giác và song song với cạnh thứ hai thì đi qua trung điểm của cạnh thứ ba)

 Xét ∆ABM có AK = KB (cmt) và KN // AM ( vì AI // CK )

\(\Rightarrow  MN = NB \).   (2) (Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh của tam giác và song song với cạnh thứ hai thì đi qua trung điểm của cạnh thứ ba)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow DM = MN = NB.\)