Tính độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông, biết rằng nếu tăng mỗi cạnh lên 3cm thì diện tích tam giác đó sẽ tăng thêm 36 \(cm^2\), và nếu một cạnh giảm đi 2cm, cạnh kia giảm 4cm thì diện tích của tam giác giảm đi 26 \(cm^2\).

Hướng dẫn giải

Gọi độ dài cạnh góc vuông thứ nhất là x (cm) ( x>0), độ dài cạnh góc vuông thứ hai là y (cm) ( y>0).

Diện tích tam giác vuông là: \( \dfrac{1}{2}xy\)

Nếu tăng mỗi cạnh lên 3 cm thì diện tích tam giác vuông là:

\(\dfrac{1}{2}(x+3)(y+3)\)

Ta có phương trình: \(\dfrac{1}{2}(x+3)(y+3) = \dfrac{1}{3}xy + 36\)

Nếu giảm một cạnh đi 2 cm ,cạnh kia giảm đi 4cm thì diện tích tam giác là: \( \dfrac{1}{2}(x- 2) ( y -4) = \dfrac{1}{2}xy - 26\)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:

\(\left\{\begin{matrix} &\dfrac{1}{2}(x+ 3) (y+3) = \dfrac{1}{2}xy + 36 \\ & \dfrac{1}{2}(x-2)(y-4) = \dfrac{1}{2}xy - 26\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\)\( \left\{\begin{matrix} & (x+3)(y+3)= xy+72\\ &(x-2)(y-4) = xy - 52 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow\)\( \left\{\begin{matrix} & x+y= 21\\ &2x+y =30\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\)\( \left\{\begin{matrix} & x=9\\ &y = 12\end{matrix}\right. \)

Vậy độ dài hai cạnh góc vuông của tam giác vuông là 9 cm và 12cm.