Bài 1: Cho phương trình \({x^2} + x - 3 = 0\)có hai nghiệm là \(x_1;x_2\). Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm là \({1 \over {{x_1}}}\) và \({1 \over {{x_2}}}\).

Bài 2: Cho phương trình \({x^2} - 2mx + 2m - 3 = 0.\)

a) Chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm với mọi m.

b)Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(A = x_1^2 + x_2^2,\) ở đó \(x_1;x_2\) là hai nghiệm của phương trình.

Hướng dẫn giải

Bài 1: Phương trình \({x^2} + x - 3 = 0\) có \(a = 1; c = − 3 \) \(\Rightarrow ac = − 3 < 0\) nên luôn có hai nghiệm ( khác dấu) \(x_1;x_2\) \( \Rightarrow {x_1} + {x_2} = - 1;\,\,\,\,\,{x_1}{x_2} = - 3\)

Ta có : \({1 \over {{x_1}}} + {1 \over {{x_2}}} = {{{x_1} + {x_2}} \over {{x_1}{x_2}}} = {1 \over 3};\)\(\,\,\,{1 \over {{x_1}}}.{1 \over {{x_2}}} = {1 \over {{x_1}{x_2}}} = - {1 \over 3}\)

Vậy \({1 \over {{x_1}}};{1 \over {{x_2}}}\) là hai nghiệm của phương trình sau :

\({X^2} - {1 \over 3}X - {1 \over 3} = 0 \)\(\;\Leftrightarrow 3{X^2} - X - 1 = 0\).

Bài 2:

a) Ta có : \(\Delta ' = {m^2} - 2m + 3 \)\(\;= {\left( {m - 1} \right)^2} + 2 > 0\), với mọi m vì \({\left( {m - 1} \right)^2} \ge 0\) với mọi m.

b) Vì \(∆’ > 0\), với mọi m nên phương trình có hai nghiệm \(x_1;x_2\)

Theo định lí Vi-ét, ta có : \({x_1} + {x_2} = 2m;\,\,\,\,\,\,{x_1}{x_2} = 2m - 3\)

Vậy \(A = x_1^2 + x_2^2 = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} \)\(\;= 4{m^2} - 4m + 6 \)\(\;= {\left( {2m - 1} \right)^2} + 5 \ge 5\)

Giá trị nhỏ nhất của A bằng 5. Dấu “=” xảy ra khi \(m = {1 \over 2}.\)