Bài 5 trang 154 SGK Đại số 10

Đề bài

Tính \(\sin2a, \cos2a, \tan2a\), biết

a) \(\sin a = -0,6\) và \(π < a < {{3\pi } \over 2}\)

b) \(\cos a =  - {5 \over {13}}\) và \({\pi  \over 2} < a < π\)

c) \( \sin a + \cos a = {1 \over 2}\) và \({{3\pi } \over 4} < a < π.\)

Hướng dẫn giải

+) Với \(\pi  < a < \frac{{3\pi }}{2}\) ta có \(\sin a < 0, \, \, \cos a < 0.\)

+) Với \(\frac{{\pi }}{2} < a < \pi\) ta có \(\sin a > 0, \, \, \cos a < 0.\)

+) \(\sin^2 \alpha +\cos^2 \alpha =1. \)

+) \(\sin 2a = 2\sin a.\cos a.\)

+) \(\cos 2a = {\cos ^2}a - {\sin ^2}a = 2{\cos ^2}a - 1 \)\(= 1 - 2{\sin ^2}a.\)

Lời giải chi tiết

a) \(\sin a = -0,6\) và  \(\pi  < a < {{3\pi } \over 2}\)

\(\sin 2a = 2\sin a\cos a\) (1)  (công thức)

Mà  \(\pi  < a < {{3\pi } \over 2} \Rightarrow \cos a < 0\)

và \(\sin a = -0,6 \Rightarrow \cos a =  - {4 \over 5}\)

\((1) \Leftrightarrow \sin 2{\rm{a}} = 2.( - 0,6).\left( { - {4 \over 5}} \right)\)\( \Leftrightarrow \sin 2{\rm{a}} = {{24} \over {25}}\)

\(\cos 2a = 1 - 2\sin^2a = 1 - 2{\left( { - {3 \over 5}} \right)^2} \)\(= 1 - {{18} \over {25}}= {7 \over {25}}.\)

\(\tan 2a = {{\sin 2a} \over {\cos 2a}} = {{24} \over {25}}.{{25} \over 7} \)\(= {{24} \over 7}\)

 b) \(\cos a =  - {5 \over {13}}\) và \({\pi  \over 2} < a < \pi\)

Vì \({\pi  \over 2} < a < \pi\) nên \(\sin a > 0; \tan a < 0\)

và \(\cos a =  - {5 \over {13}}\) nên \(\sin {\rm{a}} = {{12} \over {13}}\)

Do đó, \(\sin 2{\rm{a}} = 2.{{12} \over {13}}.\left( { - {5 \over {13}}} \right) =  - {{120} \over {169}}\)

 \(\cos 2a = 2.{\cos ^2}a - 1 = 2.{{25} \over {169}} - 1\)\( =  - {{119} \over {169}}\)

 \(\tan 2a = {{\sin 2a} \over {\cos 2a}} = \left( { - {{120} \over {169}}} \right).\left( { - {{169} \over {119}}} \right) \)\(= {{120} \over {119}}\)

c) \(\sin {\rm{a}} + {\mathop{\rm cosa}\nolimits}  = {1 \over 2}\) và  \({{3\pi } \over 4} < a < \pi\)

Vì \({{3\pi } \over 4} < a < \pi \) nên \(\sin a > 0; \cos a < 0\)

\(\left. \matrix{{\cos ^2}a + {\sin ^2}a = 1 \hfill \cr \sin a + \cos a = {1 \over 2} \hfill \cr} \right\} \)\(\Rightarrow \left\{ \matrix{\cos a = {{1 - \sqrt 7 } \over 4} \hfill \cr \sin a = {{1 + \sqrt 7 } \over 4} \hfill \cr} \right.\)

Suy ra : \(\sin 2a = 2.{{1 + \sqrt 7 } \over 4}.{{1 - \sqrt 7 } \over 4} = {{ - 3} \over 4}\)

\(\cos 2a = 1 - 2{\sin ^2}a = 1 - 2{\left( {{{1 + \sqrt 7 } \over 4}} \right)^2} \)\(= {{  \sqrt 7 } \over 4}\)

\(\tan 2a =  - {{3\sqrt 7 } \over 7}\)