Bài 6 trang 154 SGK Đại số 10

Đề bài

Cho \(\sin 2a =  - {5 \over 9}\) và \({\pi  \over 2} < a < π\).

Tính \(\sin a\) và \(\cos a.\)

Hướng dẫn giải

+) Với \(\frac{{\pi }}{2} < a < \pi\) ta có \(\sin a > 0, \, \, \cos a < 0.\)

+) \(\sin^2 \alpha +\cos^2 \alpha =1. \)

+) \(\sin 2a = 2\sin a.\cos a.\)

+) \(\cos 2a = {\cos ^2}a - {\sin ^2}a = 2{\cos ^2}a - 1\)\( = 1 - 2{\sin ^2}a.\)

+) \(\sin^2 a = \frac{{1 - \cos 2a}}{2}.\)

+) \(\cos^2 a = \frac{{1 + \cos 2a}}{2}.\)

Lời giải chi tiết

Với \({\pi  \over 2}< a < π\Rightarrow \sin a > 0, \cos a < 0.\)

\(\cos 2a =  \pm \sqrt {1 - {{\sin }^2}2a} \)\( =  \pm \sqrt {1 - {{\left( {{5 \over 9}} \right)}^2}} \)\( =  \pm {{2\sqrt {14} } \over 9}\)

Nếu \(\cos 2a = {{2\sqrt {14} } \over 9}\) thì 

\(\eqalign{
& \sin a = \sqrt {{{1 - \cos 2a} \over 2}} = \sqrt {{{1 - {{2\sqrt {14} } \over 9}} \over 2}} \cr&= {{\sqrt {9 - 2\sqrt {14} } } \over {3\sqrt 2 }}  = {{\sqrt {{{\left( {\sqrt 7 - \sqrt 2 } \right)}^2}} } \over {3\sqrt 2 }}\cr& = {{\sqrt 7 - \sqrt 2 } \over {3\sqrt 2 }} = {{\sqrt {14} - 2} \over 6} \cr} \)

\(\cos a =  - \sqrt {{{1 + \cos 2a} \over 2}}  =  - {{\sqrt {14}  + 2} \over 6}\)

Nếu \(\cos 2a = -{{2\sqrt {14} } \over 9}\) thì

\(\eqalign{
& \sin a = \sqrt {{{1 - \cos 2a} \over 2}} = \sqrt {{{1 + {{2\sqrt {14} } \over 9}} \over 2}} \cr&= {{\sqrt {9 + 2\sqrt {14} } } \over {3\sqrt 2 }} = {{\sqrt {{{\left( {\sqrt 7 + \sqrt 2 } \right)}^2}} } \over {3\sqrt 2 }}\cr& = {{\sqrt 7 + \sqrt 2 } \over {3\sqrt 2 }} = {{\sqrt {14} + 2} \over 6} \cr
& \cos a = - \sqrt {{{1 + \cos 2a} \over 2}} = {{ - \sqrt {14} + 2} \over 6} \cr} \)