Bài 8 trang 155 SGK Đại số 10

Đề bài

Rút gọn biểu thức \(A = {{{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} + \sin 3{\rm{x}} + \sin 5{\rm{x}}} \over {{\mathop{\rm cosx}\nolimits}  + \cos 3x + \cos5x}}\).

Hướng dẫn giải

Áp dụng các công thức: 

\(\begin{array}{l}
+ )\;\;\sin a + \sin b = 2\sin \frac{{a + b}}{2}\cos \frac{{a - b}}{2}.\\
+ )\;\;\cos a + \cos b = 2\cos \frac{{a + b}}{2}\cos \frac{{a - b}}{2}.\\
+ )\;\;tana = \frac{{\sin a}}{{\cos a}}.
\end{array}\)

Lời giải chi tiết

Ta có:

\(\sin x + \sin 3x + \sin 5x \\= \sin x + \sin 5x + \sin 3x\\= 2\sin {{x + 5x} \over 2}.\cos {{x - 5x} \over 2} + \sin 3x \\= 2\sin 3x + \cos 2x + \sin 3x\\= \sin 3x (2\cos 2x + 1) \, \, \, \, (1)\) 

\( \cos x + \cos3x + \cos5x \\= \cos x + \cos5x +\cos3x \\= 2\cos3x . \cos2x + \cos3x \\= \cos3x (2\cos2x + 1) \, \, \, (2)\) 

Từ (1) và (2) ta có:

\(A = {{\sin 3x} \over {\cos 3x}} = \tan 3x\)

Vậy \(A= \tan 3x.\)