Bài 4 trang 155 SGK Đại số 10

Đề bài

Rút gọn biểu thức

a) \({{2\sin 2\alpha  - \sin 4\alpha } \over {2\sin 2\alpha  + \sin 4\alpha }}\)

b) \(\tan \alpha ({{1 + {{\cos }^2}\alpha } \over {\sin \alpha }} - \sin \alpha )\)

c) \({{\sin ({\pi  \over 4} - \alpha ) + \cos ({\pi  \over 4} - \alpha )} \over {\sin ({\pi  \over 4} - \alpha ) - \cos ({\pi  \over 4} - \alpha )}}\)

d) \({{\sin 5\alpha  - \sin 3\alpha } \over {2\cos 4\alpha }}\)

Hướng dẫn giải

Áp dụng các công thức: 

\(\begin{array}{l}
+ )\;cos2\alpha = 1 - 2{\sin ^2}\alpha = 2{\cos ^2}\alpha - 1.\\
+ )\;tan\alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }}.\\
+ )\;\;tan\alpha .cot\alpha = 1.
\end{array}\)

Lời giải chi tiết

\(\eqalign{ a)& {{2\sin 2\alpha - \sin 4\alpha } \over {2\sin 2\alpha + \sin 4\alpha }} \cr&= {{2\sin 2\alpha - 2\sin 2\alpha .cos2\alpha } \over {2\sin 2\alpha + 2\sin 2\alpha .cos2\alpha }} \cr & = {{1 - \cos 2\alpha } \over {1 + \cos 2\alpha }} = {{2{{\sin }^2}\alpha } \over {2{{\cos }^2}\alpha }} \cr&=\tan^2\alpha.\cr} \)

\(\eqalign{b)& \tan \alpha \left({{1 + {{\cos }^2}\alpha } \over {\sin \alpha }} - \sin \alpha\right ) \cr&= {{\sin \alpha } \over {\cos \alpha }}\left({{1 + {{\cos }^2}\alpha - {{\sin }^2}\alpha } \over {\sin \alpha }}\right) \cr & = {{\sin \alpha } \over {\cos \alpha }}.{{2{{\cos }^2}\alpha } \over {\sin \alpha }} = 2\cos \alpha. \cr} \)

\(d)  \, {{\sin 5\alpha  - \sin 3\alpha } \over {2\cos 4\alpha }} = {{2\cos {{5\alpha  + 3\alpha } \over 2}\sin {{5\alpha  - 3\alpha } \over 2}} \over {2\cos 4\alpha }} \)\(= \sin \alpha \)