Bài 6 trang 46 SGK Hình học 10

Đề bài

Trên mặt phẳng tọa độ \(Oxy\) cho bốn điểm :  \(A(7; -3);  \, B(8; 4); \,  C(1; 5); \,  D(0;-2)\).

Chứng minh rằng tứ giác \(ABCD\) là hình vuông.

Hướng dẫn giải

\( + )\;\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
AB//DC\\
AB = DC
\end{array} \right.\) \( \Rightarrow ABCD\) là hình bình hành.

\( + )\;\;\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD}  = 0 \Rightarrow \overrightarrow {AB}  \bot \overrightarrow {AD} \) \( \Rightarrow ABCD\) là hình chữ nhật.

\( + )\;AB = AD \Rightarrow ABCD\) là hình vuông.

Lời giải chi tiết

Ta có: \(\vec{AB} = (1; 7)\);    \(\vec{DC}= (1; 7)\) 

\(\Rightarrow \vec{AB} = \vec{DC}\Rightarrow ABCD\) là hình bình hành  (1)

Ta có :

\(AB^2={(8 - 7)^2} + {(4 + 3)^2} = 1 + 49 \)\(= 50\) \( \Rightarrow AB = 5\sqrt 2 \)

\(A{D^2} = {(0 - 7)^2} + {( - 2 + 3)^2} = 49 + 1\)\( = 50\) \( \Rightarrow AD = 5\sqrt 2 \)

Suy ra \(AB = AD\), kết hợp với (1) suy ra \(ABCD\) là hình thoi (2)

Mặt khác \(\vec{AB} = (1; 7)\); \(\vec{AD} = (-7; 1)\)

\(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD}  = 1.( - 7) + 7.1 = 0\)\( \Rightarrow \vec{AB}⊥\vec{AD}\) (3)

Kết hợp (2) và (3) suy ra \(ABCD\) là hình vuông.