Bài 32 trang 93 SGK Đại số 10 nâng cao

Đề bài

Giải các hệ phương trình sau:

a)

\(\left\{ \matrix{
{4 \over x} + {1 \over {y - 1}} = 3 \hfill \cr
{2 \over x} - {2 \over {y - 1}} = 4 \hfill \cr} \right.\)

b)

\(\left\{ \matrix{
{{3(x + y)} \over {x - y}} = - 7 \hfill \cr
{{5x - y} \over {y - x}} = {5 \over 3} \hfill \cr} \right.\)

Hướng dẫn giải

a) Điều kiện: \(x ≠ 0\) và \(y ≠ -1\).

Đặt \(X = {1 \over x}  ;\,Y = {1 \over {y - 1}}\)

Ta có hệ phương trình:

\(\left\{ \matrix{
4X + Y = 3 \hfill \cr
2X - 2Y = 4 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
X = 1 \hfill \cr
Y = - 1 \hfill \cr} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{1 \over x} = 1 \hfill \cr
{1 \over {y - 1}} = - 1 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x = 1 \hfill \cr
y = 0 \hfill \cr} \right.\)

Vậy hệ có nghiệm \((1; 0)\)

b) Điều kiện: \(x ≠ y\)

Ta có:

\(\left\{ \matrix{
{{3(x + y)} \over {x - y}} = - 7 \hfill \cr
{{5x - y} \over {y - x}} = {5 \over 3} \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
3(x + y) = - 7(x - y) \hfill \cr
3(5x - y) = 5(y - x) \hfill \cr} \right. \)

\(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
10x - 4y = 0 \hfill \cr
20x - 8y = 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow y = {5 \over 2}x\)

Hệ có vô số nghiệm \((x;\,{5 \over 2}x)\) với \(x ∈\mathbb R\) \ {0} (do \(x ≠ y\))