Bài 39 trang 97 SGK Đại số 10 nâng cao

Đề bài

Giải và biện luận các hệ phương trình

a)

\(\left\{ \matrix{
x + my = 1 \hfill \cr
mx - 3my = 2m + 3 \hfill \cr} \right.\)

b)

\(\left\{ \matrix{
mx + y = 4 - m \hfill \cr
2x + (m - 1)y = m \hfill \cr} \right.\)

Hướng dẫn giải

a) Ta có:

\(\eqalign{& D = \,\left|\matrix{
1 & m \cr m & { - 3m} \cr}\right |\, = - 3m - {m^2} = - m(m + 3) \cr & {D_x} = \left|\matrix{1 & m \cr {2m + 3} & { - 3m} \cr} \right |\, = - 3m - m(2m + 3) \cr&\;\;\;\;\;\;= - 2m(m + 3) \cr & {D_y} = \left|\matrix{1 & 1 \cr m & {2m + 3} \cr}\right  |\, = \,2m + 3 - m = m + 3 \cr} \)

+Nếu D ≠ 0 ⇔ m ≠ 0 và m ≠ -3 nên hệ có nghiệm duy nhất là:

\(\left\{ \matrix{
x = {{{D_x}} \over D} = {{ - 2m(m + 3)} \over { - m(m + 3)}} = 2 \hfill \cr
y = {{{D_y}} \over D} = {{m + 3} \over { - m(m + 3)}} = - {1 \over m} \hfill \cr} \right.\) 

+ Nếu D = 0 

\( \Leftrightarrow \left[ \matrix{
m = 0 \hfill \cr
m = - 3 \hfill \cr} \right.\)

i) Với m = 0, D_y = 3 ≠ 0: hệ vô nghiệm

ii) Với m = -3, hệ trở thành:

\(\left\{ \matrix{
x - 3y = 1 \hfill \cr
- 3x + 9y = - 3 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow y = {{x - 1} \over 3}\)

Hệ có vô số nghiệm \((x;\,{{x - 1} \over 3})\) ; x ∈ R

b) Ta có:

\(\eqalign{
& D = \,\left|\matrix{
m & 1 \cr
2 & {m - 1} \cr}\right  |\, = m(m - 1) - 2 \cr&\;\;\;\;= {m^2} - m - 2 = (m + 1)(m - 2) \cr & {D_x} = \,\left|\matrix{{4 - m} & 1 \cr m & {m - 1} \cr}\right  |\, = (4 - m)(m - 1) - m \cr&\;\;\;\;= - {m^2} + 4m - 4 = - {(m - 2)^2} \cr & {D_y} = \,\left|\matrix{m & {4 - m} \cr 2 & m \cr}\right  |\, = \,{m^2} - 2(4 - m)  \cr&\;\;\;\;= {m^2} + 2m - 8 = (m - 2)(m + 4) \cr} \)

+ Nếu D ≠ 0 ⇔ m ≠ -1 và m ≠ 2 nên hệ có nghiệm duy nhất là:

\(\left\{ \matrix{
x = {{{D_x}} \over D} = {{ - {{(m - 2)}^2}} \over {(m + 1)(m - 2)}} = {{ - m + 2} \over {m + 1}} \hfill \cr
y = {{{D_y}} \over D} = {{(m + 4)(m - 2)} \over {(m + 1)(m - 2)}} = {{m + 4} \over {m + 1}} \hfill \cr} \right.\)

+ Nếu D = 0 ⇔ m = -1 hoặc m = 2

i) m = -1; D_x ≠ 0. Hệ vô nghiệm

ii) m = 2, thế y = 2 – 2x. Hệ có vô số nghiệm (x; 2 – 2x); x ∈ R