Bài 40 trang 97 SGK Đại số 10 nâng cao

Đề bài

Với giá trị nào của a thì mỗi hệ phương trình sau có nghiệm?

a)

\(\left\{ \matrix{
(a + 1)x - y = a + 1 \hfill \cr
x + (a - 1)y = 2 \hfill \cr} \right.\)

b)

\(\left\{ \matrix{
(a + 2)x + 3y = 3a + 9 \hfill \cr
x + (a + 4)y = 2 \hfill \cr} \right.\)

Hướng dẫn giải

Ta có:

\(\eqalign{
& D = \,\left|\matrix{
{a + 1} & { - 1} \cr
1 & {a - 1} \cr} \right|\, = {a^2} - 1 + 1 = {a^2} \cr & {D_x} = \,\left|\matrix{{a + 1} & { - 1} \cr 2 & {a - 1} \cr} \right|\, = {a^2} - 1 + 2 = {a^2} + 1 \ne 0 \cr} \)

+ Nếu a ≠  0 thì hệ có nghiệm duy nhất

+ Nếu a = 0 thì hệ vô nghiệm (do D_x ≠ 0)

Vậy hệ có nghiệm ⇔  a ≠ 0

b) Ta  có:

\(\eqalign{
& D = \,\left|\matrix{
{a + 2} & 3 \cr
1 & {a + 4} \cr} \right|\, = (a + 2)(a + 4) - 3 \cr&= {a^2} + 6a + 5 = (a + 1)(a + 5) \cr & {D_x} = \,\left|\matrix{{3a + 9} & 3 \cr 2 & {a + 4} \cr} \right|\, = (3a + 9)(a + 4) - 6 \cr&= 3{a^2} + 21a + 30 = 3(a + 2)(a + 5) \cr & {D_y} = \,\left|\matrix{{a + 2} & {3a + 9} \cr 1 & 2 \cr} \right|\, = 2(a + 2) - (3a + 9)\cr& = - a - 5 \cr} \)

+ Nếu a ≠ -1 và a ≠ -5 thì hệ có nghiệm duy nhất

+ Nếu a = -1 thì D_y = -4 ≠ 0: hệ vô nghiệm

+ Nếu a =-5 thì hệ thành: 

\(\left\{ \matrix{
- 3x + 3y = - 6 \hfill \cr
x - y = 2 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow y = x - 2\)

Hệ có vô số nghiệm (x, x – 2) ∈  R

Vậy hệ có nghiệm khi a ≠ 1