Bài 12 trang 192 SGK Đại số 10 Nâng cao

Đề bài

Kim giờ và kim phút đồng hồ bắt đầu cùng chạy từ vị trí Ox chỉ số 12 (tức lúc 0 giờ). Sau thời gian t giờ (t≥0), kim giờ đến vị trí tia Ou kim phút đến vị trí tia Ov.

a) Chứng minh rằng khi quay như thế, kim giờ quét góc lượng giác (Ox; Ou) có số đo \( - {\pi  \over 6}t\) , kim phút quét góc lượng giác (Ox; Ov) có số đo : -2πt. Hãy tìm số đo của góc lượng giác (Ou; Ov) theo t.

b) Chứng minh rằng hai tia Ou, Ov trùng nhau khi và chỉ khi \(t = {{12k} \over {11}}\) với k là một số tự nhiên nào đó.

c) Chứng minh rằng trong 12 giờ (0 ≤ t ≤ 12), hai tia Ou’ và Ov’ ở vị trí đối nhau khi và chỉ khi \(t = {6 \over {11}}(2k + 1)\) với k = 0, 1, ...10    

Hướng dẫn giải

a) Trong một giờ, góc lượng giác có số đo \( - {{2\pi } \over {12}}\) , nên trong t giờ, kim phút quét góc lượng giác (Ox, Ov) có số đo -2πt, kim giờ quét góc (Ox, Ou) có số đo \( - {\pi  \over 6}t\) .

Từ đó, theo hệ thức Salo, góc lượng giác (Ou, Ov) có:

\(\eqalign{
& sđ(Ou,Ov) = sđ(Ox,\,Ov) - sđ(Ox,Ou) + 12\pi \cr
& = - 2\pi t\, + {\pi \over 6}t + 12\pi = ( - {{11} \over 6}t + 2l)\pi \,\,(l \in\mathbb Z) \cr} \)

b) Hai tia Ou, Ov trùng nhau khi và chỉ khi (Ou, Ov) = 2mπ (m ∈ Z)

Vậy \( - {{11t} \over 6} + 2l = 2m\) , tức là \({{11} \over 6}t = 2(l - m)\) .

Do đó: \(t = {{12k} \over {11}},\,\,k \in Z\) 

Nhưng vì t ≥ 0 nên k ∈ N

c) Hai tia Ou, Ov đối nhau khi và chỉ khi (Ou, Ov) = (2m – 1)π (m ∈ Z)

Vậy \( - {{11t} \over 6} + 2l = 2m\)  - 1, tức là \({{11} \over 6}t = 2(l - m)\) + 1

Do đó: \(t = {6 \over {11}}(2k + 1)\pi \,\,\,(k \in Z)\)

Vì \(0 ≤ t ≤ 12\) nên k = 0, 1, 2, ... 10