Bài 40 trang 213 SGK Đại số 10 Nâng cao

Đề bài

Chứng minh rằng:

a) \(\sin \alpha  + \cos \alpha  = \sqrt 2 \sin (\alpha  + {\pi  \over 4})\)

b) \(\sin \alpha  - \cos \alpha  = \sqrt 2 \sin (\alpha  - {\pi  \over 4})\)

c) \(\tan ({\pi  \over 4} - \alpha ) = {{1 - \tan \alpha } \over {1 + \tan \alpha }}\,\,(\alpha  \ne {\pi  \over 2} + k\pi ;\,\,\alpha  \ne {{3\pi } \over 4} + k\pi )\)

d) \(\tan ({\pi  \over 4} + \alpha ) = {{1 + \tan \alpha } \over {1 - \tan \alpha }}\,\,(\alpha  \ne {\pi  \over 2} + k\pi ;\,\,\alpha  \ne {\pi  \over 4} + k\pi )\)

Hướng dẫn giải

a) Ta có:

\(\eqalign{
& \sqrt 2 \sin (\alpha + {\pi \over 4}) = \sqrt 2 (\sin \alpha \cos {\pi \over 4} + \sin {\pi \over 4}\cos \alpha ) \cr
& = \sqrt 2 (\sin \alpha {{\sqrt 2 } \over 2} + {{\sqrt 2 } \over 2}\cos \alpha ) \cr
& = \sin \alpha + \cos \alpha \cr} \) 

b) Ta có:

\(\eqalign{
& \sqrt 2 \sin (\alpha - {\pi \over 4}) = \sqrt 2 (\sin \alpha \cos {\pi \over 4} - \sin {\pi \over 4}\cos \alpha ) \cr
& = \sin\alpha - \cos \alpha \cr} \) 

c) Ta có:

\(\tan ({\pi  \over 4} - \alpha ) = {{\tan {\pi  \over 4} - \tan \alpha } \over {1 + \tan {\pi  \over 4}\tan \alpha }} = {{1 - \tan \alpha } \over {1 + \tan \alpha }}\,\)

d) Ta có:

\(\tan ({\pi  \over 4} + \alpha ) = {{\tan {\pi  \over 4} + \tan \alpha } \over {1 - \tan {\pi  \over 4}\tan \alpha }} = {{1 + \tan \alpha } \over {1 - \tan \alpha }}\,\,\)